ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что найдется пара иррациональных чисел а и p таких, что:

а) а² — p — натуральное число;

б) 2a² + Зр — целое отрицательное число.

Доказать, что найдется пара иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ таких, что:

а) $\alpha^2 — \beta$ — натуральное число;

Пусть $c = \alpha^2 — \beta$, где $c \in \mathbb{Q}$, тогда:
$\beta = \alpha^2 — c;$

Докажем приведением примера таких чисел:
$\alpha = 3 + \sqrt{5};$
$\beta = (3 + \sqrt{5})^2 — 10 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 — 10 = 4 + 6\sqrt{5};$
$c = (3 + \sqrt{5})^2 — (4 + 6\sqrt{5}) = 9 + 6\sqrt{5} + 5 — 4 — 6\sqrt{5} = 10;$

Утверждение доказано.

б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число;

Пусть $c = 2\alpha^2 + 3\beta$, где $c \in \mathbb{Q}$, тогда:
$3\beta = c — 2\alpha^2;$
$\beta = \frac{c — 2\alpha^2}{3};$

Докажем приведением примера таких чисел:
$\alpha = \sqrt{7} — 3;$
$\alpha^2 = (\sqrt{7} — 3)^2 = 7 — 6\sqrt{7} + 9 = 16 — 6\sqrt{7};$
$\beta = \frac{-13 — 2(16 — 6\sqrt{7})}{3} = \frac{-13 — 32 — 12\sqrt{7}}{3} = \frac{-12\sqrt{7} — 45}{3} = 4\sqrt{7} — 15;$
$c = 2(16 — 6\sqrt{7}) + 3(4\sqrt{7} — 15) = 32 — 12\sqrt{7} + 12\sqrt{7} — 45 = -13;$

Утверждение доказано.

Доказать, что существуют такие пары иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$, что выполняются следующие условия:

а) $\alpha^2 — \beta$ — натуральное число;
б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число.

Часть а) $\alpha^2 — \beta$ — натуральное число

1. Формулировка уравнения.

Пусть $c = \alpha^2 — \beta$, где $c \in \mathbb{Q}$ (то есть $c$ — рациональное число). Тогда можно выразить $\beta$ через $\alpha$ и $c$:

$$\beta = \alpha^2 — c.$$

Наша цель — найти такие значения $\alpha$ и $\beta$, при которых $\alpha^2 — \beta$ является натуральным числом (то есть положительным целым числом).

2. Пример с конкретными значениями.

Возьмем следующее значение для $\alpha$:

$$\alpha = 3 + \sqrt{5}.$$

Это иррациональное число, так как оно содержит квадратный корень из числа, которое не является полным квадратом.

Теперь найдём $\beta$, подставив $\alpha$ в выражение для $\beta$:

$$\beta = (3 + \sqrt{5})^2 — 10.$$

Рассчитаем квадрат $(3 + \sqrt{5})^2$:

$$(3 + \sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}.$$

Подставляем это в выражение для $\beta$:

$$\beta = 14 + 6\sqrt{5} — 10 = 4 + 6\sqrt{5}.$$

Теперь вычислим $\alpha^2 — \beta$:

$$\alpha^2 — \beta = (14 + 6\sqrt{5}) — (4 + 6\sqrt{5}) = 14 + 6\sqrt{5} — 4 — 6\sqrt{5} = 10.$$

Значение $\alpha^2 — \beta$ оказалось равным 10, что является натуральным числом.

3. Заключение.

Мы доказали, что для $\alpha = 3 + \sqrt{5}$ и $\beta = 4 + 6\sqrt{5}$, выражение $\alpha^2 — \beta$ действительно является натуральным числом (в данном случае $10$). Утверждение доказано.

Часть б) $2\alpha^2 + 3\beta$ — целое отрицательное число

1. Формулировка уравнения.

Пусть $c = 2\alpha^2 + 3\beta$, где $c \in \mathbb{Q}$. Тогда можно выразить $\beta$ через $\alpha$ и $c$ следующим образом:

$$3\beta = c — 2\alpha^2,$$ $$\beta = \frac{c — 2\alpha^2}{3}.$$

Наша цель — найти такие значения $\alpha$ и $\beta$, при которых $2\alpha^2 + 3\beta$ является целым отрицательным числом.

2. Пример с конкретными значениями.

Возьмем следующее значение для $\alpha$:

$$\alpha = \sqrt{7} — 3.$$

Это также иррациональное число.

Рассчитаем $\alpha^2$:

$$\alpha^2 = (\sqrt{7} — 3)^2 = 7 — 6\sqrt{7} + 9 = 16 — 6\sqrt{7}.$$

Теперь найдём $\beta$ из выражения для $\beta$:

$$\beta = \frac{c — 2\alpha^2}{3}.$$

Для того чтобы результат оказался целым числом, выберем $c = -13$ (чтобы $2\alpha^2 + 3\beta$ получилось целым отрицательным числом). Тогда:

$$3\beta = -13 — 2(16 — 6\sqrt{7}) = -13 — 32 + 12\sqrt{7} = -45 + 12\sqrt{7},$$ $$\beta = \frac{-45 + 12\sqrt{7}}{3} = -15 + 4\sqrt{7}.$$

Таким образом, $\beta = -15 + 4\sqrt{7}$.

Теперь проверим, что $2\alpha^2 + 3\beta$ является целым отрицательным числом:

$$2\alpha^2 = 2(16 — 6\sqrt{7}) = 32 — 12\sqrt{7},$$ $$3\beta = 3(-15 + 4\sqrt{7}) = -45 + 12\sqrt{7}.$$

Складываем $2\alpha^2$ и $3\beta$:

$$2\alpha^2 + 3\beta = (32 — 12\sqrt{7}) + (-45 + 12\sqrt{7}) = 32 — 45 = -13.$$

Получили целое отрицательное число $-13$, что подтверждает выполнение условия задачи.

3. Заключение.

Мы доказали, что для $\alpha = \sqrt{7} — 3$ и $\beta = -15 + 4\sqrt{7}$, выражение $2\alpha^2 + 3\beta$ является целым отрицательным числом (в данном случае $-13$). Утверждение доказано.