ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Сравнить значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$ ;

б) $3 + 2 \sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$ ;

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$ ;

г) $2 \sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$

Краткий ответ:

Сравнить значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$ ;

Преобразуем второе число:

$\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}} = \frac{(7 + 4 \sqrt{3}) - (7 - 4 \sqrt{3})}{(7 - 4 \sqrt{3}) (7 + 4 \sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{49 - 16 \cdot 3} = 8 \sqrt{3};$ $8 \sqrt{3} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{192};$

Сравним данные числа:

$\sqrt{192} = \sqrt{192};$

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

б) $3 + 2 \sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$ ;

Допустим, что верно неравенство:

$3 + 2 \sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10};$ $(3 + 2 \sqrt{2})^{2} > (\sqrt{7} + \sqrt{10})^{2};$ $9 + 12 \sqrt{2} + 8 > 7 + 2 \sqrt{70} + 10;$ $12 \sqrt{2} > 2 \sqrt{70};$ $\sqrt{144 \cdot 2} > \sqrt{4 \cdot 70};$ $\sqrt{288} > \sqrt{280} — верно;$

Ответ: $3 + 2 \sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$ .

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$ ;

Преобразуем второе число:

$\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7} = \frac{(5 \sqrt{2} + 7) - (5 \sqrt{2} - 7)}{(5 \sqrt{2} - 7) (5 \sqrt{2} + 7)} = \frac{7 + 7}{25 \cdot 2 - 49} = 14;$ $14 = \sqrt{14^{2}} = \sqrt{196};$

Сравним данные числа:

$\sqrt{198} > \sqrt{196};$

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$ .

г) $2 \sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$ ;

Допустим, что верно неравенство:

$2 \sqrt{5} + 3 > \sqrt{10} + \sqrt{19};$ $(2 \sqrt{5} + 3)^{2} > (\sqrt{10} + \sqrt{19})^{2};$ $20 + 12 \sqrt{5} + 9 > 10 + 2 \sqrt{190} + 19;$ $12 \sqrt{5} > 2 \sqrt{190};$ $\sqrt{144 \cdot 5} > \sqrt{4 \cdot 190};$ $\sqrt{720} > \sqrt{760} — неверно;$

Ответ: $2 \sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$ .

Подробный ответ:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$

1) Преобразуем второе выражение:

Нам нужно упростить выражение $\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Шаг 1.1: Приведение к общему знаменателю.
Чтобы вычесть две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Мы умножаем числитель и знаменатель второй дроби на выражение, которое сделает знаменатель одинаковым для обеих дробей:

$\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}} = \frac{(7 + 4 \sqrt{3}) - (7 - 4 \sqrt{3})}{(7 - 4 \sqrt{3}) (7 + 4 \sqrt{3})}$

Шаг 1.2: Упрощение числителя.
В числителе получаем:

$(7 + 4 \sqrt{3}) - (7 - 4 \sqrt{3}) = 7 + 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$

Шаг 1.3: Упрощение знаменателя.
Теперь вычислим знаменатель. Используем формулу разности квадратов:

$(7 - 4 \sqrt{3}) (7 + 4 \sqrt{3}) = 7^{2} - (4 \sqrt{3})^{2} = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{8 \sqrt{3}}{1} = 8 \sqrt{3}$

2) Сравниваем с $\sqrt{192}$ :

Мы получили, что $\frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}} = 8 \sqrt{3}$ .

Теперь, преобразуем $8 \sqrt{3}$ в вид с квадратным корнем:

$8 \sqrt{3} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{192}$

Таким образом, получаем:

$\sqrt{192} = 8 \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4 \sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

б) $3 + 2 \sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$

1) Сравниваем выражения:

Допустим, что верно неравенство:

$3 + 2 \sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$

Для проверки возведем обе стороны неравенства в квадрат.

Шаг 1.1: Квадрат левой части.

$(3 + 2 \sqrt{2})^{2} = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{2} + (2 \sqrt{2})^{2} = 9 + 12 \sqrt{2} + 8 = 17 + 12 \sqrt{2}$

Шаг 1.2: Квадрат правой части.

$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^{2} = 7 + 2 \sqrt{7 \cdot 10} + 10 = 7 + 2 \sqrt{70} + 10 = 17 + 2 \sqrt{70}$

Таким образом, неравенство становится:

$17 + 12 \sqrt{2} > 17 + 2 \sqrt{70}$

Шаг 1.3: Сравнение корней.
Теперь нам нужно сравнить $12 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{70}$ .

$12 \sqrt{2}$ можно вычислить как: $12 \sqrt{2} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{288}$
$2 \sqrt{70}$ можно вычислить как: $2 \sqrt{70} = \sqrt{4 \cdot 70} = \sqrt{280}$

Так как $\sqrt{288} > \sqrt{280}$ , то неравенство верно:

$12 \sqrt{2} > 2 \sqrt{70}$

Ответ: $3 + 2 \sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$ .

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$

1) Преобразуем второе выражение:

Нам нужно упростить выражение $\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$ .

Шаг 1.1: Приведение к общему знаменателю.

$\frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7} = \frac{(5 \sqrt{2} + 7) - (5 \sqrt{2} - 7)}{(5 \sqrt{2} - 7) (5 \sqrt{2} + 7)} = \frac{7 + 7}{(5 \sqrt{2})^{2} - 7^{2}}$

Шаг 1.2: Упрощение числителя.
В числителе получаем:

$7 + 7 = 14$

Шаг 1.3: Упрощение знаменателя.
Теперь вычислим знаменатель:

$(5 \sqrt{2})^{2} - 7^{2} = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$

Теперь выражение становится:

$\frac{14}{1} = 14$

2) Сравниваем с $\sqrt{198}$ :

Теперь сравниваем $14$ с $\sqrt{198}$ .

$14$ можно записать как $\sqrt{14^{2}} = \sqrt{196}$ , и, так как $\sqrt{198} > \sqrt{196}$ , получаем:

$\sqrt{198} > 14$

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5 \sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5 \sqrt{2} + 7}$ .

г) $2 \sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$

1) Сравниваем выражения:

Допустим, что верно неравенство:

$2 \sqrt{5} + 3 > \sqrt{10} + \sqrt{19}$

Для проверки возведем обе стороны неравенства в квадрат.

Шаг 1.1: Квадрат левой части.

$(2 \sqrt{5} + 3)^{2} = (2 \sqrt{5})^{2} + 2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 3 + 3^{2} = 20 + 12 \sqrt{5} + 9 = 29 + 12 \sqrt{5}$

Шаг 1.2: Квадрат правой части.

$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^{2} = 10 + 2 \sqrt{10 \cdot 19} + 19 = 10 + 2 \sqrt{190} + 19 = 29 + 2 \sqrt{190}$

Теперь неравенство принимает вид:

$29 + 12 \sqrt{5} > 29 + 2 \sqrt{190}$

Шаг 1.3: Сравнение корней.
Теперь нам нужно сравнить $12 \sqrt{5}$ и $2 \sqrt{190}$ .

$12 \sqrt{5}$ можно вычислить как: $12 \sqrt{5} = \sqrt{144 \cdot 5} = \sqrt{720}$
$2 \sqrt{190}$ можно вычислить как: $2 \sqrt{190} = \sqrt{4 \cdot 190} = \sqrt{760}$