ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 24 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какое наименьшее количество различных трёхзначных чисел нужно взять, чтобы среди них наверняка было бы одно число:

а) оканчивающееся не на нуль;

б) со средней цифрой нуль;

в) без нулей в их десятичной записи?

Чтобы среди чисел наверняка было хотя бы одно искомое, требуется взять на одно число больше, чем существует неподходящих чисел.

Всего трехзначных чисел:
$N = \{100; 999\};$
$N = (999 + 1) — 100 = 900;$

а) Трехзначных чисел, оканчивающихся не на нуль:
$N_1 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов первого числа};$
$N_2 = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10 — \text{вариантов второго числа};$
$\overline{N}_3 = \{0\} = 1 — \text{вариант третьего числа};$
Неподходящих чисел:
$\bar{A} = N_1 \cdot N_2 \cdot \overline{N}_3 = 9 \cdot 10 \cdot 1 = 90;$
Ответ: 91.

б) Трехзначных чисел, со средней цифрой нуль:
$N_1 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов первого числа};$
$\overline{N}_2 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов второго числа};$
$N_3 = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 10 — \text{вариантов третьего числа};$
Неподходящих чисел:
$\bar{A} = N_1 \cdot \overline{N}_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 9 \cdot 10 = 810;$
Ответ: 811.

в) Трехзначных чисел, без нулей в их десятичной записи:
$N_{1,2,3} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} = 9 — \text{вариантов каждого числа};$

1. Подходящих чисел:
   $A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729;$
2. Неподходящих чисел:
   $\bar{A} = N — A = 900 — 729 = 171;$
   Ответ: 172.

Мы будем рассматривать три случая для трехзначных чисел, а именно:

• а) Трехзначные числа, оканчивающиеся не на нуль.
• б) Трехзначные числа, со средней цифрой нуль.
• в) Трехзначные числа, без нулей в их десятичной записи.

1. Общее количество трехзначных чисел

Трехзначное число — это число в интервале от 100 до 999, включительно. То есть, все трехзначные числа имеют вид $\overline{abc}$, где:

• $a$ — первая цифра числа (сотни),
• $b$ — вторая цифра числа (десятки),
• $c$ — третья цифра числа (единицы).

Общее количество таких чисел:
Для первой цифры $a$ можно выбрать значение от 1 до 9, то есть 9 вариантов. Для второй цифры $b$ и третьей цифры $c$ можно выбрать значения от 0 до 9, то есть 10 вариантов для каждой.

Следовательно, общее количество трехзначных чисел:

$$N = 9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$$

Таким образом, всего существует 900 трехзначных чисел.

2. Случай а) Трехзначные числа, оканчивающиеся не на нуль

Задача: найти количество трехзначных чисел, которые не заканчиваются на ноль. То есть, третья цифра числа $c \neq 0$.

Шаги для решения:

1. Первая цифра $a$ может быть любым числом от 1 до 9, то есть 9 вариантов.
2. Вторая цифра $b$ может быть любым числом от 0 до 9, то есть 10 вариантов.
3. Третья цифра $c$ должна быть любым числом от 1 до 9, так как она не может быть равной нулю, то есть 9 вариантов.

Неподходящие числа:

• Неподходящее число — это число, которое заканчивается на ноль. То есть для таких чисел $c = 0$.
• В этом случае:
  • Первая цифра $a$ может быть от 1 до 9 (9 вариантов),
  • Вторая цифра $b$ может быть от 0 до 9 (10 вариантов),
  • Третья цифра $c$ — фиксированно 0 (1 вариант).

Таким образом, количество неподходящих чисел:

$$\bar{A} = 9 \cdot 10 \cdot 1 = 90$$

Подходящие числа:

• Подходящее число — это число, которое не заканчивается на ноль. Это все числа, кроме тех, что заканчиваются на ноль.
• Количество подходящих чисел:

$$A = N — \bar{A} = 900 — 90 = 810$$

Ответ: 810 подходящих чисел и 90 неподходящих. Ответ для числа с окончанием не на ноль: 91.

3. Случай б) Трехзначные числа, со средней цифрой нуль

Задача: найти количество трехзначных чисел, у которых средняя цифра (десятки) равна нулю.

Шаги для решения:

1. Первая цифра $a$ может быть любым числом от 1 до 9 (9 вариантов).
2. Вторая цифра $b$ фиксирована — она равна 0.
3. Третья цифра $c$ может быть любым числом от 0 до 9 (10 вариантов).

Неподходящие числа:

• Неподходящее число — это число, у которого средняя цифра не равна нулю.
• В этом случае:
  • Первая цифра $a$ может быть от 1 до 9 (9 вариантов),
  • Вторая цифра $b$ может быть от 1 до 9 (9 вариантов),
  • Третья цифра $c$ может быть от 0 до 9 (10 вариантов).

Таким образом, количество неподходящих чисел:

$$\bar{A} = 9 \cdot 9 \cdot 10 = 810$$

Подходящие числа:

• Подходящее число — это число, у которого средняя цифра равна нулю. Это все числа, кроме тех, у которых средняя цифра не равна нулю.
• Количество подходящих чисел:

$$A = N — \bar{A} = 900 — 810 = 90$$

Ответ: 90 подходящих чисел и 810 неподходящих. Ответ для числа со средней цифрой нуль: 811.

4. Случай в) Трехзначные числа, без нулей в их десятичной записи

Задача: найти количество трехзначных чисел, в которых нет ни одной цифры, равной нулю.

Шаги для решения:

1. Первая цифра $a$ может быть любым числом от 1 до 9 (9 вариантов).
2. Вторая цифра $b$ также может быть любым числом от 1 до 9 (9 вариантов).
3. Третья цифра $c$ также может быть любым числом от 1 до 9 (9 вариантов).

Подходящие числа:

• Подходящее число — это число, в котором нет нулей ни в одной из цифр. То есть для всех цифр $a, b, c$ выбираются значения от 1 до 9.

Таким образом, количество подходящих чисел:

$$A = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$$

Неподходящие числа:

• Неподходящее число — это число, в котором есть хотя бы один ноль в десятичной записи.
• Количество неподходящих чисел:

$$\bar{A} = N — A = 900 — 729 = 171$$

Ответ: 729 подходящих чисел и 171 неподходящих. Ответ для числа без нулей в записи: 172.

Итоговые ответы:

• а) Количество трехзначных чисел, оканчивающихся не на нуль: 91.
• б) Количество трехзначных чисел, со средней цифрой нуль: 811.
• в) Количество трехзначных чисел, без нулей в их десятичной записи: 172.