ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным:

а) 17;

б) 236?

Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.

Сколько существует правильных обыкновенных несократимых дробей со знаменателем, равным:

а) 17;

Число семнадцать является простым, значит числителем дроби может быть любое число от одного до шестнадцати.

Всего таких дробей будет:

$$N = 16;$$

Наибольшая такая дробь:

$$M = \frac{16}{17};$$

Ответ: $16; \frac{16}{17}$.

б) 236;

Число 236 является составным, значит числителем дроби может быть любое число от 1 до 235, которое не является делителем числа 236.

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 236 & 2 \\ \hline 118 & 2 \\ \hline 59 & 59 \\ \end{array}$$ $$236 = 2^2 \cdot 59.$$

Число делителей за исключением 1 и 236:

$$N_1 = (2 + 1)(1 + 1) — 2 = 3 \cdot 2 — 2 = 6 — 2 = 4.$$

Всего таких дробей будет:

$$N = 235 — 4 = 231.$$

Наибольшая такая дробь:

$$M = \frac{235}{236}.$$

Ответ: $231; \frac{235}{236}$.

Сколько существует правильных обыкновенных несократимых дробей со знаменателем, равным:

а) 17

Шаг 1: Характеристика числа 17

Число 17 — простое, что означает, что оно делится только на 1 и на себя. Следовательно, для дробей с таким знаменателем числитель может быть любым числом от 1 до 16 (не включая 0 и 17, так как дробь должна быть правильной).

Шаг 2: Условия правильности и несократимости дроби

• Правильная дробь — это дробь, где числитель меньше знаменателя.
• Несократимая дробь — это дробь, где числитель и знаменатель взаимно просты (их НОД равен 1).

Поскольку 17 — простое число, все числа от 1 до 16 являются взаимно простыми с 17. Следовательно, все дроби с числителем от 1 до 16 и знаменателем 17 будут несократимыми.

Шаг 3: Подсчет таких дробей

Числители дробей могут быть любыми числами от 1 до 16, то есть всего 16 чисел. Следовательно, существует 16 правильных обыкновенных несократимых дробей.

Шаг 4: Наибольшая такая дробь

Наибольшая дробь будет с максимальным числителем, то есть с числителем 16. Таким образом, наибольшая такая дробь:

$$M = \frac{16}{17}.$$

Ответ:

Количество дробей: $16$
Наибольшая дробь: $\frac{16}{17}$

б) 236

Шаг 1: Характеристика числа 236

Число 236 — составное, разложим его на простые множители:

$$236 = 2^2 \cdot 59.$$

Следовательно, числитель дроби может быть любым числом от 1 до 235, которое не является делителем числа 236. То есть числитель не может быть кратным 2 или 59, так как такие дроби будут сокращаться.

Шаг 2: Подсчет количества чисел, которые не являются делителями 236

Найдем количество чисел, которые не являются делителями числа 236. Для этого сначала найдем все делители числа 236, за исключением 1 и 236:

• Делители числа 236: $1, 2, 4, 59, 118, 236$.

Итак, количество делителей, кроме 1 и 236, равно 4 (это 2, 4, 59, 118). Из всех чисел от 1 до 235 мы исключаем эти 4 числа.

Теперь вычислим количество чисел, которые можно выбрать в качестве числителей:

$$235 — 4 = 231.$$

То есть существует 231 правильная несократимая дробь с знаменателем 236.

Шаг 3: Наибольшая такая дробь

Наибольшая дробь будет с числителем 235 (это максимальное число, которое меньше 236 и не делится на 2 или 59). Таким образом, наибольшая дробь:

$$M = \frac{235}{236}.$$

Ответ:

Количество дробей: $231$
Наибольшая дробь: $\frac{235}{236}$

Итог:

• а) Для $a = 17$ существует $16$ правильных обыкновенных несократимых дробей, и наибольшая дробь $\frac{16}{17}$.
• б) Для $a = 236$ существует $231$ правильных обыкновенных несократимых дробей, и наибольшая дробь $\frac{235}{236}$.