ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{0,(4)}=\frac{2}{3}=0,(6)$

Начальная дробь: $0,(4)$ — это периодическая десятичная дробь с периодом «4», что означает, что после запятой цифра «4» повторяется бесконечно (0,4444…).

Чтобы перевести её в обыкновенную дробь, мы записываем уравнение:

$$x=0,(4)\mathrm{.}$$

Умножаем обе части на 10, чтобы сдвигать запятую:

$$10x=4,(4)\mathrm{.}$$

Теперь, вычитая $x$ из этого уравнения, мы получаем:

$$10x-x=4,(4)-0,(4)\Rightarrow 9x=4\Rightarrow x=\frac{4}{9}\mathrm{.}$$

Далее мы знаем, что $\frac{4}{9}$ = $\frac{2}{3}$, что в десятичной форме даёт $0,(6)$. Таким образом, $0,(4)=0,(6)$.

Ответ: $0,(6)$

б) $\sqrt{3,48(4)}=\frac{28}{15}=1,8(6)$

Мы имеем число $3,48(4)$, где период «4» повторяется после цифры 8.

Аналогично предыдущему примеру, мы используем метод перевода периодической дроби в обыкновенную дробь:

$$x=3,48(4)\mathrm{.}$$

Умножаем на 100:

$$100x=348,(4),$$

затем на 1000:

$$1000x=3484,(4)\mathrm{.}$$

Теперь вычитаем:

$$1000x-100x=3484,(4)-348,(4)\Rightarrow 900x=3136\Rightarrow x=\frac{3136}{900}\mathrm{.}$$

Сокращаем дробь:

$$x=\frac{784}{225}\mathrm{.}$$

Переходя к десятичной форме, получаем $\frac{784}{225}=3,48(4)=1,8(6)$.

Ответ: $1,8(6)$

в) $\sqrt{1,(7)}=\frac{4}{3}=1,(3)$

Число $1,(7)$ — это десятичная периодическая дробь, где период «7» повторяется.

Переводим его в обыкновенную дробь:

$$x=1,(7)\mathrm{.}$$

Умножаем на 10:

$$10x=17,(7),$$

затем вычитаем:

$$10x-x=17,(7)-1,(7)\Rightarrow 9x=16\Rightarrow x=\frac{16}{9}\mathrm{.}$$

Известно, что $\frac{16}{9}=\frac{4}{3}$, что в десятичной форме даёт $1,(3)$.

Ответ: $1,(3)$

г) $\sqrt{4,3402(7)}=\frac{25}{12}=2,08(3)$

У нас есть число $4,3402(7)$, где период «7» повторяется.

Переводим его в обыкновенную дробь:

$$x=4,3402(7)\mathrm{.}$$

Умножаем на 10000:

$$10000x=43402,(7),$$

затем на 100000:

$$100000x=434027,(7)\mathrm{.}$$

Вычитаем:

$$100000x-10000x=434027,(7)-43402,(7)\Rightarrow 90000x=390625\Rightarrow$$

$$x=\frac{390625}{90000}\mathrm{.}$$

Сокращаем дробь:

$$x=\frac{625}{144}\mathrm{.}$$

Известно, что $\frac{625}{144}=\frac{25}{12}$, что в десятичной форме даёт $2,08(3)$.

Ответ: $2,08(3)$

а) $\sqrt{0,(4)}=\frac{2}{3}=0,(6)$

Шаг 1: Записываем исходную дробь $0,(4)$.

Мы начинаем с десятичной периодической дроби $0,(4)$, где период «4» бесконечно повторяется. Это означает, что число выглядит как $0,\mathrm{4444\dots }$.

Шаг 2: Переводим периодическую дробь в обыкновенную дробь.

Предположим, что:

$$x=0,(4)$$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы сдвигать запятую:

$$10x=4,(4)$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $x=0,(4)$
2. $10x=4,(4)$

Шаг 3: Вычитаем первое уравнение из второго.

Чтобы избавиться от повторяющейся части, вычитаем $x$ из $10x$:

$$10x-x=4,(4)-0,(4)$$

В результате получаем:

$$9x=4$$

Отсюда:

$$x=\frac{4}{9}$$

Шаг 4: Упрощаем дробь.

Дробь $\frac{4}{9}$ уже является несократимой, но мы знаем, что это эквивалентно $\frac{2}{3}$, а в десятичной форме $\frac{2}{3}$ даёт $0,(6)$, то есть период «6» повторяется.

Ответ: $0,(6)$.

б) $\sqrt{3,48(4)}=\frac{28}{15}=1,8(6)$

Шаг 1: Записываем исходную дробь $3,48(4)$.

Наша задача — перевести десятичную дробь $3,48(4)$, где период «4» повторяется, в обыкновенную дробь. Число выглядит как $3,\mathrm{484444\dots }$.

Шаг 2: Переводим периодическую дробь в обыкновенную дробь.

Пусть:

$$x=3,48(4)$$

Теперь умножим обе части на 100, чтобы сдвигать запятую на два знака:

$$100x=348,(4)$$

Затем умножим на 1000, чтобы сдвигать запятую ещё на один знак:

$$1000x=3484,(4)$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $x=3,48(4)$
2. $100x=348,(4)$
3. $1000x=3484,(4)$

Шаг 3: Вычитаем уравнения.

Теперь вычитаем второе уравнение из третьего, чтобы избавиться от периодической части:

$$1000x-100x=3484,(4)-348,(4)$$

Получаем:

$$900x=3136$$

Отсюда:

$$x=\frac{3136}{900}$$

Теперь сокращаем дробь:

$$x=\frac{784}{225}$$

Эта дробь равна $\frac{28}{15}$.

Шаг 4: Переходим к десятичной форме.

Переводим $\frac{28}{15}$ в десятичную дробь:

$$\frac{28}{15}=1,8(6)$$

Так как остаток после деления повторяется, период «6» бесконечно повторяется.

Ответ: $1,8(6)$.

в) $\sqrt{1,(7)}=\frac{4}{3}=1,(3)$

Шаг 1: Записываем исходную дробь $1,(7)$.

Десятичная периодическая дробь $1,(7)$ имеет период «7», который бесконечно повторяется. Число выглядит как $1,\mathrm{7777\dots }$.

Шаг 2: Переводим периодическую дробь в обыкновенную дробь.

Пусть:

$$x=1,(7)$$

Теперь умножим обе части на 10, чтобы сдвигать запятую:

$$10x=17,(7)$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $x=1,(7)$
2. $10x=17,(7)$

Шаг 3: Вычитаем уравнения.

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

$$10x-x=17,(7)-1,(7)$$

Получаем:

$$9x=16$$

Отсюда:

$$x=\frac{16}{9}$$

Знаем, что $\frac{16}{9}=\frac{4}{3}$.

Шаг 4: Переходим к десятичной форме.

$\frac{4}{3}$ в десятичной форме даёт $1,(3)$, так как период «3» повторяется бесконечно.

Ответ: $1,(3)$.

г) $\sqrt{4,3402(7)}=\frac{25}{12}=2,08(3)$

Шаг 1: Записываем исходную дробь $4,3402(7)$.

Десятичная дробь $4,3402(7)$ имеет период «7», который повторяется бесконечно. Число выглядит как $4,\mathrm{34027777\dots }$.

Шаг 2: Переводим периодическую дробь в обыкновенную дробь.

Пусть:

$$x=4,3402(7)$$

Теперь умножим обе части на 10000, чтобы сдвигать запятую:

$$10000x=43402,(7)$$

Затем умножим на 100000, чтобы сдвигать запятую ещё на один знак:

$$100000x=434027,(7)$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $x=4,3402(7)$
2. $10000x=43402,(7)$
3. $100000x=434027,(7)$

Шаг 3: Вычитаем уравнения.

Теперь вычитаем второе уравнение из третьего:

$$100000x-10000x=434027,(7)-43402,(7)$$

Получаем:

$$90000x=390625$$

Отсюда:

$$x=\frac{390625}{90000}$$

Сокращаем дробь:

$$x=\frac{625}{144}$$

Это равно $\frac{25}{12}$.

Шаг 4: Переходим к десятичной форме.

$\frac{25}{12}$ в десятичной форме даёт $2,08(3)$, где период «3» бесконечно повторяется.

Ответ: $2,08(3)$.

Итоги:

1. $\sqrt{0,(4)}=0,(6)$
2. $\sqrt{3,48(4)}=1,8(6)$
3. $\sqrt{1,(7)}=1,(3)$
4. $\sqrt{4,3402(7)}=2,08(3)$