ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 16 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В числе 7345_ заполните пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) при делении на 9 давало в остатке 2;

б) при делении на 5 давало в остатке 3;

в) при делении на 25 давало в остатке 7;

г) при делении на 11 давало в остатке 10.

В числе 7345х заполнить пропуск такой цифрой, чтобы число:

а) При делении на 9 давало в остатке 2:

Число, которое делится на девять:

$$8161 \cdot 9 = 73449;$$

Искомое число на 2 единицы больше:

$$73449 + 2 = 73451;$$

Ответ: $73451$.

б) При делении на 5 давало в остатке 3:

Число, которое делится на пять:

$$14690 \cdot 5 = 73450;$$

Искомое число на 3 единицы больше:

$$73450 + 3 = 73453;$$

Ответ: $73453$.

в) При делении на 25 давало в остатке 7:

Число, которое делится на двадцать пять:

$$2938 \cdot 25 = 73450;$$

Искомое число на 7 единиц больше:

$$73450 + 7 = 73457;$$

Ответ: $73457$.

г) При делении на 11 давало в остатке 10:

Число, которое делится на одиннадцать:

$$6677 \cdot 11 = 73447;$$

Искомое число на 10 единиц больше:

$$73447 + 10 = 73457;$$

Ответ: $73457$.

Число $7345x$ имеет форму $73450 + x$, где $x$ — это цифра, которую нужно определить. Для каждого пункта мы будем искать $x$, при котором число $7345x$ будет удовлетворять указанным условиям делимости.

а) При делении на 9 дает в остатке 2:

Шаг 1: Правило делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Нам нужно найти число $7345x$, которое при делении на 9 дает остаток 2. Для этого сначала вычислим сумму цифр числа $7345x$:

$$7 + 3 + 4 + 5 + x = 19 + x$$

Теперь проверим, на сколько $19 + x$ делится на 9 с остатком 2.

Шаг 2: Определение остатка от деления на 9

Нам нужно, чтобы сумма цифр $19 + x$ при делении на 9 оставляла остаток 2:

$$(19 + x) \mod 9 = 2$$

Сначала вычислим остаток от деления 19 на 9:

$$19 \div 9 = 2 \text{ (целая часть)}, \quad \text{остаток } 19 — 2 \times 9 = 19 — 18 = 1$$

Теперь у нас:

$$1 + x \equiv 2 \mod 9$$

Решаем это уравнение:

$$x \equiv 1 \mod 9$$

То есть $x = 1$ (так как $x$ — это цифра, и оно должно быть в пределах от 0 до 9).

Шаг 3: Подставляем значение $x$

Подставляем $x = 1$ в число $7345x$:

$$73451$$

Проверка:

• Сумма цифр числа $73451$: $7 + 3 + 4 + 5 + 1 = 20$.
• $20 \div 9 = 2 \text{ (целая часть)}, \quad \text{остаток } 20 — 18 = 2$.

Ответ: $73451$.

б) При делении на 5 дает в остатке 3:

Шаг 1: Правило делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Нам нужно, чтобы число $7345x$ при делении на 5 давало остаток 3. Для этого $x$ должно быть равно 3, так как это единственная цифра, которая при делении на 5 дает остаток 3.

Шаг 2: Подставляем значение $x$

Подставляем $x = 3$ в число $7345x$:

$$73453$$

Проверка:

• $73453 \div 5 = 14690$ (целая часть), остаток 3.

Ответ: $73453$.

в) При делении на 25 дает в остатке 7:

Шаг 1: Правило делимости на 25

Число делится на 25, если его последние две цифры делятся на 25. Нам нужно, чтобы последние две цифры числа $7345x$ (то есть $45x$) при делении на 25 оставляли остаток 7.

Шаг 2: Проверка делимости на 25

Теперь проверим, при каких значениях $x$ число $45x$ при делении на 25 дает остаток 7:

$$45x \div 25 = \text{число с остатком 7}$$

Перебираем значения $x$:

• $450 \div 25 = 18$ (остаток 0),
• $451 \div 25 = 18$ (остаток 1),
• $452 \div 25 = 18$ (остаток 2),
• $453 \div 25 = 18$ (остаток 3),
• $454 \div 25 = 18$ (остаток 4),
• $455 \div 25 = 18$ (остаток 5),
• $456 \div 25 = 18$ (остаток 6),
• $457 \div 25 = 18$ (остаток 7).

Ответ: $x = 7$.

Шаг 3: Подставляем значение $x$

Подставляем $x = 7$ в число $7345x$:

$$73457$$

Проверка:

• $73457 \div 25 = 2938$ (целая часть), остаток 7.

Ответ: $73457$.

г) При делении на 11 дает в остатке 10:

Шаг 1: Правило делимости на 11

Для делимости на 11 используется правило, при котором разница между суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, и суммой цифр, стоящих на четных позициях, делится на 11. Нам нужно, чтобы число $7345x$ при делении на 11 давало остаток 10.

Шаг 2: Разница между суммами

Число $7345x$ состоит из цифр 7, 3, 4, 5, $x$. Разделим цифры на нечетные и четные позиции:

• Нечетные позиции: $7, 4, x$ — их сумма $7 + 4 + x = 11 + x$,
• Четные позиции: $3, 5$ — их сумма $3 + 5 = 8$.

Нам нужно, чтобы разница:

$$(11 + x) — 8 = 3 + x$$

при делении на 11 давала остаток 10:

$$(3 + x) \mod 11 = 10$$

Решаем:

$$3 + x = 10 \mod 11$$ $$x = 7$$

Шаг 3: Подставляем значение $x$

Подставляем $x = 7$ в число $7345x$:

$$73457$$

Проверка:

• Разница между суммой цифр на нечетных и четных позициях: $(7 + 4 + 7) — (3 + 5) = 18 — 8 = 10$, что при делении на 11 дает остаток 10.

Ответ: $73457$.

Итоговые ответы:

• а) $73451$
• б) $73453$
• в) $73457$
• г) $73457$