ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 123 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия, тогда:

$b_2 = 60$;

По свойству геометрической прогрессии:

$$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3};$$ $$60 = \sqrt{b_1 \cdot b_3};$$

Для арифметической прогрессии имеем:

$$a_1 = b_1 + 25;$$ $$a_2 = b_2 = 60;$$ $$a_3 = \frac{b_3}{3};$$

По свойству арифметической прогрессии:

$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2};$$ $$60 = \frac{b_1 + 25 + \frac{b_3}{3}}{2};$$ $$120 = b_1 + 25 + \frac{b_3}{3};$$ $$95 = b_1 + \frac{b_3}{3};$$ $$b_1 = 95 — \frac{b_3}{3};$$

Найдем значения остальных чисел:

$$60 = \sqrt{\left(95 — \frac{b_3}{3}\right) \cdot b_3};$$ $$3600 = \left(95 — \frac{b_3}{3}\right) \cdot b_3;$$ $$3600 = 95b_3 — \frac{b_3^2}{3};$$ $$\frac{b_3^2}{3} — 95b_3 + 3600 = 0;$$ $$b_3^2 — 285b_3 + 10800 = 0;$$ $$D = 285^2 — 4 \cdot 10 \cdot 800 = 81225 — 43200 = 38025, \text{тогда}$$ $$b_{31} = \frac{285 — 195}{2} = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{и} \quad b_{32} = \frac{285 + 195}{2} = 240;$$ $$b_{11} = 95 — \frac{45}{3} = 30 \quad \text{и} \quad b_{13} = 95 — \frac{240}{3} = 15;$$

Ответ: 8$30, 60, 45$ или $15, 60, 240$.

Шаг 1. Обозначения

Пусть три числа геометрической прогрессии обозначаются как $a$, $b$ и $c$, где:

• $b = 60$ — второе число прогрессии.
• $a$ — первое число прогрессии.
• $c$ — третье число прогрессии.

Так как числа составляют геометрическую прогрессию, то выполняется условие:

$$\frac{b}{a} = \frac{c}{b},$$

или, что то же самое,

$$b^2 = a \cdot c.$$

Шаг 2. Преобразование в арифметическую прогрессию

Теперь перейдем к условию, которое относится к арифметической прогрессии. Если к первому числу прибавить 25, второе оставить без изменений, а третье число разделить на 3, то получится арифметическая прогрессия. То есть числа $a + 25$, $b$ и $\frac{c}{3}$ должны быть элементами арифметической прогрессии.

Для арифметической прогрессии выполняется условие:

$$2b = (a + 25) + \frac{c}{3}.$$

Шаг 3. Подставим $b = 60$

Теперь подставим значение $b = 60$ в оба условия.

Из первого уравнения геометрической прогрессии:

$$60^2 = a \cdot c \quad \Rightarrow \quad 3600 = a \cdot c.$$

Из второго уравнения для арифметической прогрессии:

$$2 \cdot 60 = (a + 25) + \frac{c}{3} \quad \Rightarrow \quad 120 = a + 25 + \frac{c}{3}.$$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$360 = 3a + 75 + c.$$

Преобразуем это уравнение:

$$3a + c = 285. \quad \text{(Уравнение 2)}$$

Шаг 4. Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a \cdot c = 3600$,
2. $3a + c = 285$.

Решим эту систему.

Из второго уравнения выразим $c$ через $a$:

$$c = 285 — 3a.$$

Подставим это выражение для $c$ в первое уравнение:

$$a \cdot (285 — 3a) = 3600.$$

Раскроем скобки:

$$285a — 3a^2 = 3600.$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$3a^2 — 285a + 3600 = 0.$$

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение:

$$3a^2 — 285a + 3600 = 0.$$

Для решения используем формулу для корней квадратного уравнения:

$$a = \frac{-(-285) \pm \sqrt{(-285)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3600}}{2 \cdot 3}.$$

Посчитаем дискриминант:

$$\Delta = (-285)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3600 = 81225 — 43200 = 38025.$$

Теперь находим корни:

$$a = \frac{285 \pm \sqrt{38025}}{6} = \frac{285 \pm 195}{6}.$$

Таким образом, два возможных значения для $a$:

$$a_1 = \frac{285 + 195}{6} = \frac{480}{6} = 80,$$ $$a_2 = \frac{285 — 195}{6} = \frac{90}{6} = 15.$$

Шаг 6. Находим $c$

Теперь подставим найденные значения $a$ в выражение для $c$ из уравнения $3a + c = 285$.

Для $a = 80$:

$$3 \cdot 80 + c = 285 \quad \Rightarrow \quad 240 + c = 285 \quad \Rightarrow \quad c = 45.$$

Для $a = 15$:

$$3 \cdot 15 + c = 285 \quad \Rightarrow \quad 45 + c = 285 \quad \Rightarrow \quad c = 240.$$

Шаг 7. Проверим оба случая

Для $a = 80$, $b = 60$, $c = 45$ (геометрическая прогрессия):

$$\frac{b}{a} = \frac{60}{80} = 0.75, \quad \frac{c}{b} = \frac{45}{60} = 0.75,$$

что подтверждает, что это геометрическая прогрессия.

Проверим, что это числа становятся арифметической прогрессией:

$$a + 25 = 80 + 25 = 105, \quad \frac{c}{3} = \frac{45}{3} = 15.$$

Проверим условие арифметической прогрессии:

$$2 \cdot 60 = 105 + 15 \quad \Rightarrow \quad 120 = 120.$$

Это условие выполнено, значит, $a = 80$, $b = 60$, $c = 45$ — правильное решение.

Для $a = 15$, $b = 60$, $c = 240$ (геометрическая прогрессия):

$$\frac{b}{a} = \frac{60}{15} = 4, \quad \frac{c}{b} = \frac{240}{60} = 4,$$

что подтверждает, что это геометрическая прогрессия.

Проверим, что это числа становятся арифметической прогрессией:

$$a + 25 = 15 + 25 = 40, \quad \frac{c}{3} = \frac{240}{3} = 80.$$

Проверим условие арифметической прогрессии:

$$2 \cdot 60 = 40 + 80 \quad \Rightarrow \quad 120 = 120.$$

Это условие также выполнено, значит, $a = 15$, $b = 60$, $c = 240$ — правильное решение.

Ответ:

Два возможных решения:

1. $a = 80$, $b = 60$, $c = 45$,
2. $a = 15$, $b = 60$, $c = 240$.