ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 109 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На каждом рисунке ниже на отрезке [-5; 7] изображён график функции у = f(x). В некоторых случаях функция у = f(x) не определена в одной или нескольких точках данного отрезка. Рассмотрите данный график и определите:

1) возрастает ли функция на отрезке [-5; 7];

2) убывает ли функция на отрезке [-5; 7];

3) сколько корней имеет уравнение f(x) = р {значения р указаны на рисунке);

4) промежутки монотонности функции у = f(х)

а)

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$;

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$;

3) Уравнение $f(x) = p$, где $0 \leq p \leq 6$:

• Не имеет корней, если $5 < p \leq 6$;
• Имеет один корень, если $p = 0$;
• Имеет два корня, если $0 < p < 2$ или $p = 5$;
• Имеет три корня, если $2 \leq p < 3$;
• Имеет четыре корня, если $3 \leq p < 5$;

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $[-5; -3] \cup [2; 3]$;
• Убывает на $[-3; 2] \cup [3; 7]$;

б)

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$;

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$;

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \in \mathbb{R}$:

• Имеет один корень, если $p > 1$;
• Имеет два корня, если $-2 < p \leq 1$;
• Имеет три корня, если $p < -2$;

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $(-2; 0) \cup (0; 7]$;
• Убывает на $[-5; -2)$;

в)

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$;

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$;

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \leq 7$:

• Не имеет корней, если $p < 4$;
• Имеет один корень, если $2 < p \leq 7$ или $p = -4$;
• Имеет два корня, если $-4 < p < -2$ или $-1 < p \leq 2$;
• Имеет три корня, если $p = -1$ или $p = -2$;
• Имеет четыре корня, если $-2 < p < -1$;

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $[-2; 2] \cup [5; 7]$;
• Убывает на $[-5; -2] \cup [2; 5]$;

г)

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$;

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$;

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \in \mathbb{R}$:

• Не имеет корней, если $2 < p < 3$;
• Имеет один корень, если $p < 3$, $p > 6$, $p = 2$ или $p = 3$;
• Имеет два корня, если $-3 \leq p < 2$ или $3 < p \leq 6$;

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $[-5; -3] \cup [2; 7]$;
• Убывает на $[-3; 0) \cup (0; 2]$

а) Анализ функции

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$

Чтобы доказать, что функция не возрастает на этом интервале, нужно определить, является ли производная функции положительной на этом отрезке. Если производная функции на интервале больше нуля, то функция возрастает. Если она меньше нуля, то функция убывает. Если производная меняет знак, то функция имеет экстремумы.

Из условия задачи мы не видим конкретной функции, но на основании результатов анализа можно утверждать, что на интервале $[-5; 7]$ функция не возрастает.

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$

Похожие рассуждения приводят нас к выводу, что функция также не убывает на интервале $[-5; 7]$. Функция либо возрастает, либо убывает, либо остается постоянной, и в данном случае функции не удается быть монотонной (то есть не возрастает и не убывает).

3) Уравнение $f(x) = p$, где $0 \leq p \leq 6$:

Чтобы решить уравнение $f(x) = p$, рассмотрим все случаи для значений $p$.

• Не имеет корней, если $5 < p \leq 6$: Это значит, что на интервале $5 < p \leq 6$ функция $f(x)$ не пересекает прямую $y = p$, то есть не имеет решения для этого диапазона значений $p$.
• Имеет один корень, если $p = 0$: Функция пересекает ось $x$ только в одной точке, когда $p = 0$.
• Имеет два корня, если $0 < p < 2$ или $p = 5$: Для этих значений $p$ функция будет пересекать прямую $y = p$ в двух точках.
• Имеет три корня, если $2 \leq p < 3$: В этом диапазоне функции могут быть три точки пересечения с прямой $y = p$.
• Имеет четыре корня, если $3 \leq p < 5$: Для этих значений функции будет четыре точки пересечения с прямой.

4) Промежутки монотонности функции:

Монотонность функции определяется тем, где ее производная положительна или отрицательна. Рассмотрим интервалы:

• Возрастает на $[-5; -3] \cup [2; 3]$: На этих промежутках производная функции положительна, что значит, что функция возрастает.
• Убывает на $[-3; 2] \cup [3; 7]$: На этих промежутках производная функции отрицательна, то есть функция убывает.

б) Анализ функции

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$

Как и в предыдущем случае, на интервале $[-5; 7]$ функция не является монотонной, то есть она не возрастает на всем интервале.

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$

Аналогично, на данном интервале функция также не является монотонной (не убывает на всем интервале).

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \in \mathbb{R}$:

Для уравнения $f(x) = p$ находим несколько случаев:

• Имеет один корень, если $p > 1$: Для значений $p > 1$ функция будет пересекаться с прямой $y = p$ в одной точке.
• Имеет два корня, если $-2 < p \leq 1$: Для этих значений функции будет два пересечения с прямой.
• Имеет три корня, если $p < -2$: Когда $p$ меньше чем $-2$, функция будет пересекаться с прямой $y = p$ в трех точках.

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $(-2; 0) \cup (0; 7]$: На этих промежутках производная функции положительна, и функция возрастает.
• Убывает на $[-5; -2)$: На этом промежутке функция убывает, так как ее производная отрицательна.

в) Анализ функции

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$

Здесь также функция не является монотонной на интервале $[-5; 7]$.

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$

Как и в предыдущих случаях, функция не является монотонной на данном интервале.

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \leq 7$:

Теперь анализируем уравнение $f(x) = p$ для значений $p \leq 7$:

• Не имеет корней, если $p < 4$: Для значений $p$ меньше чем 4, функция не пересекает прямую $y = p$, то есть уравнение не имеет корней.
• Имеет один корень, если $2 < p \leq 7$ или $p = -4$: Для этих значений функции будет одно пересечение с прямой.
• Имеет два корня, если $-4 < p < -2$ или $-1 < p \leq 2$: В этих интервалах функция пересекает прямую $y = p$ в двух точках.
• Имеет три корня, если $p = -1$ или $p = -2$: Для этих значений $p$ функция имеет три точки пересечения с прямой.
• Имеет четыре корня, если $-2 < p < -1$: В этом диапазоне функция будет иметь четыре точки пересечения с прямой.

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $[-2; 2] \cup [5; 7]$: На этих промежутках функция возрастает, так как производная положительна.
• Убывает на $[-5; -2] \cup [2; 5]$: На этих промежутках функция убывает, так как производная отрицательна.

г) Анализ функции

1) Функция не возрастает на отрезке $[-5; 7]$

Как и в предыдущих случаях, функция не является монотонной на отрезке $[-5; 7]$.

2) Функция не убывает на отрезке $[-5; 7]$

Аналогично, функция не является монотонной на этом интервале.

3) Уравнение $f(x) = p$, где $p \in \mathbb{R}$:

Для уравнения $f(x) = p$ рассматриваем следующие случаи:

• Не имеет корней, если $2 < p < 3$: В этом интервале функция не пересекает прямую $y = p$, и уравнение не имеет корней.
• Имеет один корень, если $p < 3$, $p > 6$, $p = 2$ или $p = 3$: Эти значения $p$ приводят к одному пересечению функции с прямой $y = p$.
• Имеет два корня, если $-3 \leq p < 2$ или $3 < p \leq 6$: Для этих значений $p$ функция пересекает прямую в двух точках.

4) Промежутки монотонности функции:

• Возрастает на $[-5; -3] \cup [2; 7]$: На этих промежутках функция возрастает.
• Убывает на $[-3; 0) \cup (0; 2]$: На этих промежутках функция убывает.