ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано числовое множество

А = (-2 2/3; -2; -vЗ; -0,2(3); 0; 0,23; 1; v2/2; пи; 4).

Составьте множество:

а) А — N; в) A — Z;

б) A — Q; г) А — I.

где N, Z, Q, I — соответственно множества натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел.

Дано числовое множество:

$A = \left\{ -2 \frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4 \right\}$

а) Множество $A \cap N$ (пересечение с множеством натуральных чисел):

$A \cap N = \{ 1; 4 \}$

б) Множество $A \cap Z$ (пересечение с множеством целых чисел):

$A \cap Z = \{ -2; 0; 1; 4 \}$

в) Множество $A \cap Q$ (пересечение с множеством рациональных чисел):

$A \cap Q = \left\{ -2 \frac{2}{3}; -2; -0,2(3); 0; 0,23; 1; 4 \right\}$

г) Множество $A \cap I$ (пересечение с множеством иррациональных чисел):

$A \cap I = \left\{ -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi \right\}$

Дано множество $A$:

$$A = \left\{ -2 \frac{2}{3}; -2; -\sqrt{3}; -0,2(3); 0; 0,23; 1; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi; 4 \right\}$$

Это множество состоит из десяти чисел, включая как целые, так и дробные числа, а также иррациональные числа.

1. Множество натуральных чисел $N$

Натуральные числа — это числа, используемые для счета, то есть $N = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$. Множество натуральных чисел включает только положительные целые числа. Отрицательные числа, ноль и дроби в нем не встречаются.

Проверка чисел из $A$:

• $-2 \frac{2}{3}$ — это отрицательное дробное число, не может быть натуральным.
• $-2$ — это отрицательное целое число, не может быть натуральным.
• $-\sqrt{3}$ — это отрицательное иррациональное число, не может быть натуральным.
• $-0,2(3)$ — это отрицательное рациональное число, не может быть натуральным.
• $0$ — это не натуральное число, так как натуральные числа начинаются с 1.
• $0,23$ — это положительное рациональное число, но не натуральное, так как дробное.
• $1$ — это натуральное число.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это иррациональное число, не может быть натуральным.
• $\pi$ — это иррациональное число, не может быть натуральным.
• $4$ — это натуральное число.

Таким образом, пересечение множества $A$ с множеством натуральных чисел состоит из элементов $1$ и $4$.

Ответ для пункта (а):

$$A \cap N = \{ 1; 4 \}$$

2. Множество целых чисел $Z$

Целые числа $Z$ включают в себя все положительные и отрицательные целые числа, а также ноль. То есть $Z = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$.

Проверка чисел из $A$:

• $-2 \frac{2}{3}$ — это дробь, не является целым числом.
• $-2$ — это целое число.
• $-\sqrt{3}$ — это иррациональное число, не может быть целым числом.
• $-0,2(3)$ — это рациональное число (повторяющаяся десятичная дробь), не является целым.
• $0$ — это целое число.
• $0,23$ — это рациональное число, не является целым.
• $1$ — это целое число.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это иррациональное число, не является целым.
• $\pi$ — это иррациональное число, не является целым.
• $4$ — это целое число.

Таким образом, пересечение множества $A$ с множеством целых чисел состоит из элементов $-2$, $0$, $1$ и $4$.

Ответ для пункта (б):

$$A \cap Z = \{ -2; 0; 1; 4 \}$$

3. Множество рациональных чисел $Q$

Рациональные числа $Q$ — это числа, которые могут быть выражены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, и $q \neq 0$. Рациональные числа включают в себя все целые числа, конечные и периодические десятичные дроби.

Проверка чисел из $A$:

• $-2 \frac{2}{3}$ — это дробь, является рациональным числом.
• $-2$ — это целое число, значит, оно рационально.
• $-\sqrt{3}$ — это иррациональное число.
• $-0,2(3)$ — это периодическая десятичная дробь, значит, она рациональна.
• $0$ — это целое число, значит, оно рационально.
• $0,23$ — это конечная десятичная дробь, значит, она рациональна.
• $1$ — это целое число, значит, оно рационально.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это иррациональное число.
• $\pi$ — это иррациональное число.
• $4$ — это целое число, значит, оно рационально.

Таким образом, пересечение множества $A$ с множеством рациональных чисел состоит из элементов $-2 \frac{2}{3}$, $-2$, $-0,2(3)$, $0$, $0,23$, $1$ и $4$.

Ответ для пункта (в):

$$A \cap Q = \left\{ -2 \frac{2}{3}; -2; -0,2(3); 0; 0,23; 1; 4 \right\}$$

4. Множество иррациональных чисел $I$

Иррациональные числа $I$ — это числа, которые не могут быть выражены в виде дроби $\frac{p}{q}$, то есть числа, которые имеют бесконечную непериодическую десятичную запись. Примеры иррациональных чисел: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.

Проверка чисел из $A$:

• $-2 \frac{2}{3}$ — это рациональное число, не может быть иррациональным.
• $-2$ — это целое число, не может быть иррациональным.
• $-\sqrt{3}$ — это иррациональное число.
• $-0,2(3)$ — это рациональное число, не может быть иррациональным.
• $0$ — это целое число, не может быть иррациональным.
• $0,23$ — это рациональное число, не может быть иррациональным.
• $1$ — это целое число, не может быть иррациональным.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это иррациональное число.
• $\pi$ — это иррациональное число.
• $4$ — это целое число, не может быть иррациональным.

Таким образом, пересечение множества $A$ с множеством иррациональных чисел состоит из элементов $-\sqrt{3}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\pi$.

Ответ для пункта (г):

$$A \cap I = \left\{ -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi \right\}$$

Итоговый ответ:

$$\begin{aligned} a) & \quad A \cap N = \{ 1; 4 \} \\ b) & \quad A \cap Z = \{ -2; 0; 1; 4 \} \\ c) & \quad A \cap Q = \left\{ -2 \frac{2}{3}; -2; -0,2(3); 0; 0,23; 1; 4 \right\} \\ d) & \quad A \cap I = \left\{ -\sqrt{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}; \pi \right\} \end{aligned}$$