ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Если а + b делится на с, а а — b не делится на с, то ни а, ни b не делятся на с;

б) ad + bc + ас + bd делится на а + b;

в) если ad + bc делится на а + b то и ас + bd делится на а + b;

г) если ad + bc не делится на а + b > то и ас + bd не делится на а + b.

а) Если $(a+b):c$ и $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, тогда $a\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$ и $b\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$;

$(a+b):c$, значит $(a+b)=c{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

Допустим $a:c$, значит $a=c{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$, при этом $q_2<q_1$, тогда:

$$a+b=c{q}_2+b;$$

$$c{q}_1=c{q}_2+b;$$

$$b=c{q}_1-c{q}_2=c(q_1-q_2)\in \mathbb{N};$$

То есть числа $a$ и $b$ могут быть кратны $c$ только одновременно:

$$a:c,\text{значит }a=c{p}_1,\text{где }{p}_1\in \mathbb{N};$$

$$b:c,\text{значит }b=c{p}_2,\text{где }{p}_2\in \mathbb{N};$$

$$\frac{a-b}{c}=\frac{c{p}_1-c{p}_2}{c}=\frac{c(p_1-p_2)}{c}=(p_1-p_2)\in \mathbb{N};$$

Получим $(a-b):c$, что противоречит условию задачи, значит $a\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$ и $b\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, что и требовалось доказать.

б) Если $a,b,c,d\in \mathbb{N}$, тогда $(ad+bc+ac+bd):(a+b)$;

$$(ad+bc+ac+bd)=(ad+ac)+(bd+bc)=a(d+c)+b(d+c)=(a+b)(d+c)$$

$$\frac{ad+bc+ac+bd}{a+b}=\frac{(ad+ac)+(bd+bc)}{a+b}=\frac{a(d+c)+b(d+c)}{a+b}=$$

$$=\frac{(a+b)(d+c)}{a+b}=(d+c)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

в) Если $(ad+bc):(a+b)$, тогда $(ac+bd):(a+b)$;

$ac+bd=(ac+bc)+(bd+ad)-ad-bc=c(a+b)+d(a+b)-(ad+bc)=$

$=(c+d)(a+b)-(ad+bc);$

$$\frac{ac+bd}{a+b}=\frac{(c+d)(a+b)-(ad+bc)}{a+b}=(c+d)-\frac{ad+bc}{a+b}\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

г) Если $(ad+bc)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$, тогда $(ac+bd)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$;

Допустим $(ac+bd):(a+b)$, значит $(ac+bd)=(a+b)q$, где $q\in \mathbb{N}$;

$ac+bd=(ac+bc)+(bd+ad)-ad-bc=c(a+b)+d(a+b)-(ad+bc)=$

$=(c+d)(a+b)-(ad+bc);$

$$\frac{ac+bd}{a+b}=\frac{(c+d)(a+b)-(ad+bc)}{a+b}=(c+d)-\frac{ad+bc}{a+b};$$

$$\frac{(a+b)q}{a+b}=(c+d)-\frac{ad+bc}{a+b};$$

$$q=c+d-\frac{ad+bc}{a+b};$$

$$\frac{ad+bc}{a+b}=(c+d-q)\in \mathbb{N};$$

Получим $(ad+bc):(a+b)$, что противоречит условию задачи, значит $(ac+bd)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$, что и требовалось доказать.

а) Если $(a+b):c$ и $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, тогда $a\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$ и $b\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$;

Начнём с того, что условие $(a+b):c$ означает, что выражение $a+b$ делится на $c$. То есть существует такое натуральное число $q_1$, что

$$a+b=c{q}_1$$

где $q_1\in \mathbb{N}$.

Также из условия задачи мы знаем, что $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, то есть выражение $a-b$ не делится на $c$. Мы должны доказать, что в этом случае и $a$, и $b$ не могут быть кратны $c$.

Предположим, что $a:c$, то есть $a$ делится на $c$, и пусть $a=c{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$. Также из условия, что $a+b=c{q}_1$, мы знаем, что

$$a+b=c{q}_1\mathrm{.}$$

Подставим выражение $a=c{q}_2$ в это равенство:

$$c{q}_2+b=c{q}_1\mathrm{.}$$

Выразим $b$:

$$b=c{q}_1-c{q}_2=c(q_1-q_2)\mathrm{.}$$

Таким образом, $b=c(q_1-q_2)$, и $b$ также делится на $c$. То есть, если $a$ делится на $c$, то и $b$ делится на $c$.

Следовательно, если $a:c$, то $b:c$ обязательно, и наоборот. Но теперь мы можем увидеть противоречие с условием, что $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$. Так как $a=c{q}_2$ и $b=c(q_1-q_2)$, то

$$a-b=c{q}_2-c(q_1-q_2)=c(q_2-(q_1-q_2))=c(2q_2-q_1)\mathrm{.}$$

То есть, $a-b$ делится на $c$, что противоречит условию $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$.

Следовательно, наше предположение о том, что $a:c$, было ошибочным. То же самое можно применить и к $b$. Таким образом, если $(a+b):c$ и $(a-b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, то и $a\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$, и $b\mathrm{̸}\mathrm{⋮}c$. Доказано.

б) Если $a,b,c,d\in \mathbb{N}$, тогда $(ad+bc+ac+bd):(a+b)$;

Нам нужно доказать, что $(ad+bc+ac+bd)$ делится на $(a+b)$. Для этого начнём с того, что выразим исходное выражение следующим образом:

$$ad+bc+ac+bd=(ad+ac)+(bc+bd)\mathrm{.}$$

Перепишем его, выделив общие множители:

$$ad+ac+bc+bd=a(d+c)+b(d+c)\mathrm{.}$$

Теперь видно, что можно выделить общий множитель $(a+b)$:

$$a(d+c)+b(d+c)=(a+b)(d+c)\mathrm{.}$$

Таким образом, мы можем записать:

$$\frac{ad+bc+ac+bd}{a+b}=\frac{(a+b)(d+c)}{a+b}\mathrm{.}$$

Поскольку $(a+b)$ сокращается, остаётся:

$$d+c\mathrm{.}$$

Поскольку $d$ и $c$ — натуральные числа, то $d+c\in \mathbb{N}$, что и требовалось доказать.

в) Если $(ad+bc):(a+b)$, тогда $(ac+bd):(a+b)$;

Пусть $(ad+bc):(a+b)$, то есть существует такое натуральное число $q_3$, что

$$ad+bc=(a+b)q_3\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что $(ac+bd):(a+b)$. Начнём с того, что выразим $ac+bd$ через $ad+bc$:

$$ac+bd=(ac+bc)+(bd+ad)-ad-bc\mathrm{.}$$

Это можно переписать как:

$$ac+bd=c(a+b)+d(a+b)-(ad+bc)\mathrm{.}$$

Теперь, если $ad+bc=(a+b)q_3$, то подставляем это в выражение для $ac+bd$:

$$ac+bd=(a+b)(c+d)-(a+b)q_3\mathrm{.}$$

Вынесем $(a+b)$ за скобки:

$$ac+bd=(a+b)(c+d-q_3)\mathrm{.}$$

Следовательно:

$$\frac{ac+bd}{a+b}=c+d-q_3\mathrm{.}$$

Поскольку $c+d-q_3$ — это натуральное число, то выражение $(ac+bd):(a+b)$ выполнено, что и требовалось доказать.

г) Если $(ad+bc)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$, тогда $(ac+bd)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$;

Пусть $(ac+bd):(a+b)$, то есть существует такое натуральное число $q_4$, что

$$ac+bd=(a+b)q_4\mathrm{.}$$

Из предыдущего пункта мы знаем, что

$$ac+bd=(a+b)(c+d)-(a+b)(q_3)\mathrm{.}$$

Разделим обе части на $a+b$:

$$\frac{ac+bd}{a+b}=c+d-q_3\mathrm{.}$$

Однако если $ad+bc=(a+b)q_5$, то

$$\frac{ad+bc}{a+b}=q_5\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Мы видим, что это приводит к противоречию, так как $q_5$ и $q_4$ должны быть равны, что невозможно. Следовательно, если $(ad+bc)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$, то $(ac+bd)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}(a+b)$, что и требовалось доказать.