ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что:

а) Сумма двух четных чисел есть четное число;

б) сумма двух нечетных чисел есть четное число;

в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;

г) если X, у — произвольные натуральные числа, то xy(x + у) и xy(x — у) — четные числа.

Краткий ответ:

а) Если $n ⋮ 2$ и $m ⋮ 2$ , тогда $(n + m) ⋮ 2$ ;

$n ⋮ 2$ , значит $n = 2 q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ ;

$m ⋮ 2$ , значит $m = 2 q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ ;

$\frac{n + m}{2} = \frac{n}{2} + \frac{m}{2} = \frac{2 q_{1}}{2} + \frac{2 q_{2}}{2} = (q_{1} + q_{2}) \in N;$

Что и требовалось доказать.

б) Если $n$ и $m$ — нечетные числа, тогда $(n + m) ⋮ 2$ ;

$n$ — нечетное число, значит $n = 2 q_{1} + 1$ , где $q_{1} \in N$ ;

$m$ — нечетное число, значит $m = 2 q_{2} + 1$ , где $q_{2} \in N$ ;

$\frac{n + m}{2} = \frac{2 q_{1} + 1 + 2 q_{2} + 1}{2} = \frac{2 (q_{1} + q_{2} + 1)}{2} = (q_{1} + q_{2} + 1) \in N;$

Что и требовалось доказать.

в) Если $n ⋮ 2$ и $m ̸ ⋮ 2$ , тогда $(n + m) ̸ ⋮ 2$ ;

$n ⋮ 2$ , значит $n = 2 q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ ;

$m ̸ ⋮ 2$ , значит $m = 2 q_{2} + 1$ , где $q_{2} \in N$ ;

$\frac{n + m}{2} = \frac{2 q_{1} + 2 q_{2} + 1}{2} = (q_{1} + q_{2}) + \frac{1}{2};$

$n + m = 2 (q_{1} + q_{2}) + 1$ , где $(q_{1} + q_{2}) \in N$ ;

Что и требовалось доказать.

г)

Если $x \notin N$ и $y \in N$ , тогда $x y (x + y) ⋮ 2$ и $x y (x - y) ⋮ 2$ .

Если оба числа четные:

$x = 2 q_{1}, где q_{1} \in N;$ $y = 2 q_{2}, где q_{2} \in N;$ $\frac{x y (x \pm y)}{2} = \frac{2 q_{1} \cdot 2 q_{2} \cdot (2 q_{1} \pm 2 q_{2})}{2} = 4 q_{1} q_{2} (q_{1} + q_{2}) \in N;$

Если одно число нечетное, а другое четное:

$x = 2 q_{1} + 1, где q_{1} \in N;$ $y = 2 q_{2}, где q_{2} \in N;$ $\frac{x y (x + y)}{2} = \frac{(2 q_{1} + 1) \cdot 2 q_{2} \cdot (2 q_{1} + 1 \pm 2 q_{2})}{2} =$ $= 2 q_{2} (2 q_{1} + 1) (2 a_{1} \pm 2 q_{2} + 1) \in N;$

Если оба числа нечетные:

$x = 2 q_{1} + 1, где q_{1} \in N;$ $y = 2 q_{2} + 1, где q_{2} \in N;$ $\frac{x y (x + y)}{2} = \frac{(2 q_{1} + 1) (2 q_{2} + 1) (2 q_{1} + 1 + 2 q_{2} + 1)}{2} =$ $= (2 q_{1} + 1) (2 q_{2} + 1) (q_{1} + q_{2} + 1) \in N;$ $\frac{x y (x - y)}{2} = \frac{(2 q_{1} + 1) (2 q_{2} + 1) (2 q_{1} + 1 - 2 q_{2} - 1)}{2} =$ $= (2 q_{1} + 1) (2 q_{2} + 1) (q_{1} - q_{2}) \in N;$

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

а) Если $n ⋮ 2$ и $m ⋮ 2$ , тогда $(n + m) ⋮ 2$ .

Предположим, что $n$ и $m$ делятся на 2. Это означает, что $n$ и $m$ — четные числа. Мы хотим доказать, что сумма $n + m$ также делится на 2, т.е. что $n + m$ — четное число.

Пусть $n$ делится на 2.Это значит, что $n$ можно записать как $n = 2 q_{1}$ , где $q_{1}$ — некоторое натуральное число, то есть $q_{1} \in N$ . Другими словами, $n$ — это удвоенное какое-то натуральное число $q_{1}$ .
Пусть $m$ делится на 2.Это значит, что $m$ также делится на 2, то есть $m = 2 q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ . Таким образом, $m$ тоже является четным числом.
Сложим $n$ и $m$ .Мы имеем:
$n + m = 2 q_{1} + 2 q_{2} .$
Вынесем $2$ за скобки:
$n + m = 2 (q_{1} + q_{2}) .$
Так как $q_{1} + q_{2}$ — сумма двух натуральных чисел, то $q_{1} + q_{2} \in N$ .
Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n + m = 2 (q_{1} + q_{2})$ , где $q_{1} + q_{2} \in N$ . Это означает, что $n + m$ делится на 2, так как оно является произведением 2 на натуральное число $q_{1} + q_{2}$ .

Заключение: Мы доказали, что если $n ⋮ 2$ и $m ⋮ 2$ , то $n + m ⋮ 2$ .

б) Если $n$ и $m$ — нечетные числа, тогда $(n + m) ⋮ 2$ .

Предположим, что $n$ и $m$ — нечетные числа, и мы хотим доказать, что их сумма также делится на 2, т.е. что $n + m$ — четное число.

Пусть $n$ — нечетное число.Это значит, что $n$ можно записать как $n = 2 q_{1} + 1$ , где $q_{1} \in N$ . То есть $n$ представляет собой удвоенное число $q_{1}$ , увеличенное на 1.
Пусть $m$ — нечетное число.Это значит, что $m = 2 q_{2} + 1$ , где $q_{2} \in N$ , аналогично.
Сложим $n$ и $m$ .Сложим два нечетных числа:
$n + m = (2 q_{1} + 1) + (2 q_{2} + 1) .$
Упростим:
$n + m = 2 q_{1} + 2 q_{2} + 2 = 2 (q_{1} + q_{2} + 1) .$
Видим, что $n + m$ является произведением 2 на натуральное число $q_{1} + q_{2} + 1$ .
Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n + m = 2 (q_{1} + q_{2} + 1)$ , где $q_{1} + q_{2} + 1 \in N$ . Таким образом, $n + m$ делится на 2, так как оно является удвоенным числом.

Заключение: Мы доказали, что если $n$ и $m$ — нечетные числа, то их сумма $n + m$ делится на 2, то есть $n + m ⋮ 2$ .

в) Если $n ⋮ 2$ и $m ̸ ⋮ 2$ , тогда $(n + m) ̸ ⋮ 2$ .

Предположим, что $n$ делится на 2, а $m$ не делится на 2, и мы хотим доказать, что их сумма $n + m$ не делится на 2.

Пусть $n$ делится на 2.Это значит, что $n = 2 q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ .
Пусть $m$ не делится на 2.Это значит, что $m = 2 q_{2} + 1$ , где $q_{2} \in N$ . То есть $m$ является нечетным числом.
Сложим $n$ и $m$ .Сложим:
$n + m = 2 q_{1} + (2 q_{2} + 1) = 2 (q_{1} + q_{2}) + 1.$
Мы видим, что $n + m$ представляет собой удвоенное число $q_{1} + q_{2}$ , увеличенное на 1.
Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n + m = 2 (q_{1} + q_{2}) + 1$ , то есть сумма $n + m$ не делится на 2, так как она на 1 больше, чем число, делящееся на 2. Следовательно, $n + m$ нечетное.

Заключение: Мы доказали, что если $n ⋮ 2$ и $m ̸ ⋮ 2$ , то сумма $n + m$ не делится на 2, то есть $(n + m) ̸ ⋮ 2$ .

г)

Если $x \notin N$ и $y \in N$ , тогда $x y (x + y) ⋮ 2$ и $x y (x - y) ⋮ 2$ .

Мы рассматриваем три случая: когда оба числа четные, одно четное и одно нечетное, и оба числа нечетные.

1) Если оба числа четные:

Пусть $x = 2 q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ , и $y = 2 q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ .

Тогда:

$x y (x \pm y) = (2 q_{1}) (2 q_{2}) (2 q_{1} \pm 2 q_{2}) .$

Вынесем 2:

$x y (x \pm y) = 4 q_{1} q_{2} (q_{1} \pm q_{2}) .$

Это выражение делится на 2, так как оно содержит множитель 4, который делится на 2. Следовательно, $x y (x \pm y)$ делится на 2.

2) Если одно число четное, а другое нечетное:

Пусть $x = 2 q_{1} + 1$ , где $q_{1} \in N$ , и $y = 2 q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ .

Тогда:

$x y (x + y) = (2 q_{1} + 1) (2 q_{2}) (2 q_{1} + 1 + 2 q_{2}) .$

Мы видим, что это выражение также делится на 2, так как множитель $2 q_{2}$ является четным. Следовательно, $x y (x + y)$ делится на 2.

3) Если оба числа нечетные:

Пусть $x = 2 q_{1} + 1$ , где $q_{1} \in N$ , и $y = 2 q_{2} + 1$ , где $q_{2} \in N$ .

Тогда:

$x y (x + y) = (2 q_{1} + 1) (2 q_{2} + 1) (2 q_{1} + 1 + 2 q_{2} + 1) .$

Это выражение также делится на 2, так как мы имеем произведение четного числа и других чисел.

Заключение: Мы доказали, что если $x \notin N$ и $y \in N$ , то $x y (x + y) ⋮ 2$ и $x y (x - y) ⋮ 2$ для всех рассмотренных случаев.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Алгебра

Общая оценка

3.9 / 5

Комментарии

Другие предметы

Алгебра

10-10 класс