ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько делителей имеет данное число:

а) 315;

б) 9450;

в) 250 000;

г) 623 700?

Общее число делителей натурального числа $a$ равно произведению:

$$N = (s_1 + 1)(s_2 + 1)(s_3 + 1) \cdot \ldots \cdot (s_n + 1);$$

где $s_n$ — показатель степени простого делителя под номером $n$;

а) Число 315:

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 315 & 3 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$ $$315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7;$$

Общее число всех делителей числа:

$$N = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12;$$

Ответ: 12.

б) Число 9450:

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 9450 & 2 \\ 4725 & 3 \\ 1575 & 3 \\ 525 & 3 \\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$ $$9450 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7;$$

Общее число всех делителей числа:

$$N = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48;$$

Ответ: 48.

в) Число 250 000:

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 250000 & 2 \\ 125000 & 2 \\ 62000 & 2 \\ 31250 & 2 \\ 15625 & 5 \\ 3125 & 5 \\ 625 & 5 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$ $$250000 = 2^4 \cdot 5^6;$$

Общее число всех делителей числа:

$$N = (4 + 1)(6 + 1) = 5 \cdot 7 = 35;$$

г) Число 623 700:

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 623700 & 2 \\ 311850 & 2 \\ 155925 & 3 \\ 51975 & 3 \\ 17325 & 3 \\ 5775 & 3 \\ 1925 & 5 \\ 385 & 5 \\ 77 & 7 \\ 11 & 11 \\ 1 & 1 \\ \end{array}$$ $$623700 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11;$$

Общее число всех делителей числа:

$$N = (2 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 180;$$

Ответ: 180.

Для того чтобы вычислить количество делителей числа $a$, разложим его на простые множители. Когда число разложено на простые множители в виде:

$$a = p_1^{s_1} \cdot p_2^{s_2} \cdot p_3^{s_3} \cdot \dots \cdot p_n^{s_n},$$

где $p_1, p_2, \dots, p_n$ — простые числа, а $s_1, s_2, \dots, s_n$ — их соответствующие степени, то общее число делителей числа $a$ можно найти по формуле:

$$N = (s_1 + 1)(s_2 + 1)(s_3 + 1) \dots (s_n + 1).$$

Это объясняется тем, что для каждого простого множителя $p_i^{s_i}$ число делителей будет равно $s_i + 1$, поскольку делители включают все степени от $p_i^0$ до $p_i^{s_i}$.

Давайте теперь подробно разберем все примеры.

а) Число 315

Шаг 1: Разложим число на простые множители

Для числа $315$ будем делить на простые числа до тех пор, пока не получим разложение:

• $315$ делится на 3 (так как сумма цифр $3 + 1 + 5 = 9$, а 9 делится на 3):

  $$315 \div 3 = 105.$$

• $105$ делится на 3:

  $$105 \div 3 = 35.$$

• $35$ делится на 5:

  $$35 \div 5 = 7.$$

• $7$ — простое число.

Таким образом, разложение числа $315$ на простые множители:

$$315 = 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1.$$

Шаг 2: Нахождение числа делителей

Теперь, используя формулу для нахождения числа делителей, подставим показатели степеней простых чисел:

$$N = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.$$

Ответ: Число $315$ имеет 12 делителей.

б) Число 9450

Шаг 1: Разложим число на простые множители

Для числа $9450$ будем делить на простые числа:

• $9450$ делится на 2:

  $$9450 \div 2 = 4725.$$

• $4725$ делится на 3:

  $$4725 \div 3 = 1575.$$

• $1575$ делится на 3:

  $$1575 \div 3 = 525.$$

• $525$ делится на 3:

  $$525 \div 3 = 175.$$

• $175$ делится на 5:

  $$175 \div 5 = 35.$$

• $35$ делится на 5:

  $$35 \div 5 = 7.$$

• $7$ — простое число.

Таким образом, разложение числа $9450$ на простые множители:

$$9450 = 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1.$$

Шаг 2: Нахождение числа делителей

Используем формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (1 + 1)(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 48.$$

Ответ: Число $9450$ имеет 48 делителей.

в) Число 250 000

Шаг 1: Разложим число на простые множители

Для числа $250000$ будем делить на простые числа:

• $250000$ делится на 2:

  $$250000 \div 2 = 125000.$$

• $125000$ делится на 2:

  $$125000 \div 2 = 62000.$$

• $62000$ делится на 2:

  $$62000 \div 2 = 31250.$$

• $31250$ делится на 2:

  $$31250 \div 2 = 15625.$$

• $15625$ делится на 5:

  $$15625 \div 5 = 3125.$$

• $3125$ делится на 5:

  $$3125 \div 5 = 625.$$

• $625$ делится на 5:

  $$625 \div 5 = 125.$$

• $125$ делится на 5:

  $$125 \div 5 = 25.$$

• $25$ делится на 5:

  $$25 \div 5 = 5.$$

• $5$ делится на 5:

  $$5 \div 5 = 1.$$

Таким образом, разложение числа $250000$ на простые множители:

$$250000 = 2^4 \cdot 5^6.$$

Шаг 2: Нахождение числа делителей

Используем формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (4 + 1)(6 + 1) = 5 \cdot 7 = 35.$$

Ответ: Число $250000$ имеет 35 делителей.

г) Число 623 700

Шаг 1: Разложим число на простые множители

Для числа $623700$ будем делить на простые числа:

• $623700$ делится на 2:

  $$623700 \div 2 = 311850.$$

• $311850$ делится на 2:

  $$311850 \div 2 = 155925.$$

• $155925$ делится на 3:

  $$155925 \div 3 = 51975.$$

• $51975$ делится на 3:

  $$51975 \div 3 = 17325.$$

• $17325$ делится на 3:

  $$17325 \div 3 = 5775.$$

• $5775$ делится на 3:

  $$5775 \div 3 = 1925.$$

• $1925$ делится на 5:

  $$1925 \div 5 = 385.$$

• $385$ делится на 5:

  $$385 \div 5 = 77.$$

• $77$ делится на 7:

  $$77 \div 7 = 11.$$

• $11$ — простое число.

Таким образом, разложение числа $623700$ на простые множители:

$$623700 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1.$$

Шаг 2: Нахождение числа делителей

Используем формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (2 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 180.$$

Ответ: Число $623700$ имеет 180 делителей.

Итоговые ответы:

• а) Число 315 имеет 12 делителей.
• б) Число 9450 имеет 48 делителей.
• в) Число 250000 имеет 35 делителей.
• г) Число 623700 имеет 180 делителей.