ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколькими нулями оканчивается число:

а) 10!;

б) 20!;

в) 40!;

г) 100!?

1. Ноль в конце числа дают при перемножении только его простые делители 2 и 5, так как на 5 всегда делится меньше чисел, чем на 2, то можно учитывать только количество делителей равных пяти;
2. Каждый пятый множитель в числе $n!$ делится на 5, каждый 25-ый делится на $5^2$ и так далее, получим формулу показателя степени числа пять в разложении $n!$ (учитывается только целая часть от деления):

$$N = \frac{n}{5} + \frac{n}{5^2} + \frac{n}{5^3} + \cdots + \frac{n}{5^m}, \text{где } 5^m \leq n;$$

а) Для числа $10!$:

$$N = \frac{10}{5} = 2;$$

Ответ: 2 нуля.

б) Для числа $20!$:

$$N = \frac{20}{5} = 4;$$

Ответ: 4 нуля.

в) Для числа $40!$:

$$N = \frac{40}{5} + \frac{40}{25} = 8 + 1 = 9;$$

Ответ: 9 нулей.

г) Для числа $100!$:

$$N = \frac{100}{5} + \frac{100}{25} = 20 + 4 = 24;$$

Ответ: 24 нуля.

Для того чтобы узнать, сколько нулей в конце числа $n!$, нам нужно рассмотреть его разложение на множители. Каждый ноль в конце числа появляется при умножении чисел, содержащих простые множители 2 и 5. Это объясняется тем, что:

$$10 = 2 \times 5,$$

поэтому каждый раз, когда мы имеем пару множителей 2 и 5, мы получаем 10, что добавляет ноль в конец числа. Однако так как на 2 всегда делится больше чисел, чем на 5, для нахождения количества нулей в конце числа $n!$ достаточно учитывать только количество делителей числа 5.

Формула для нахождения степени числа 5 в разложении $n!$

Поскольку каждый пятый множитель в числе $n!$ делится на 5, каждый 25-й множитель делится на $5^2$, каждый 125-й делится на $5^3$ и так далее, количество делителей 5 в разложении $n!$ можно найти с помощью следующей формулы:

$$N = \frac{n}{5} + \frac{n}{5^2} + \frac{n}{5^3} + \cdots + \frac{n}{5^m},$$

где $5^m \leq n$, а дроби берутся с целыми частями от деления.

Давайте подробно рассмотрим, как эта формула применяется для различных значений $n$.

а) Для числа $10!$

Шаг 1: Применение формулы

Для $n = 10$, делим $10$ на степени числа 5:

• $\frac{10}{5} = 2$ (числа, делящиеся на 5: 5 и 10).
• $\frac{10}{25} = 0$ (так как $25 > 10$).

Мы не учитываем более высокие степени двойки, так как они больше 10. Таким образом, общее количество делителей 5:

$$N = 2.$$

Шаг 2: Интерпретация

Это означает, что в разложении числа $10!$ будет два нуля, так как есть два множителя 5.

Ответ: В числе $10!$ два нуля.

б) Для числа $20!$

Шаг 1: Применение формулы

Для $n = 20$, делим $20$ на степени числа 5:

• $\frac{20}{5} = 4$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20).
• $\frac{20}{25} = 0$ (так как $25 > 20$).

Таким образом, общее количество делителей 5:

$$N = 4.$$

Шаг 2: Интерпретация

Это означает, что в разложении числа $20!$ будет четыре нуля, так как есть четыре множителя 5.

Ответ: В числе $20!$ четыре нуля.

в) Для числа $40!$

Шаг 1: Применение формулы

Для $n = 40$, делим $40$ на степени числа 5:

• $\frac{40}{5} = 8$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40).
• $\frac{40}{25} = 1$ (число, делящееся на 25: 25).
• $\frac{40}{125} = 0$ (так как $125 > 40$).

Таким образом, общее количество делителей 5:

$$N = 8 + 1 = 9.$$

Шаг 2: Интерпретация

Это означает, что в разложении числа $40!$ будет девять нулей, так как есть девять множителей 5.

Ответ: В числе $40!$ девять нулей.

г) Для числа $100!$

Шаг 1: Применение формулы

Для $n = 100$, делим $100$ на степени числа 5:

• $\frac{100}{5} = 20$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20, …, 100).
• $\frac{100}{25} = 4$ (числа, делящиеся на 25: 25, 50, 75, 100).
• $\frac{100}{125} = 0$ (так как $125 > 100$).

Таким образом, общее количество делителей 5:

$$N = 20 + 4 = 24.$$

Шаг 2: Интерпретация

Это означает, что в разложении числа $100!$ будет 24 нуля, так как есть 24 множителя 5.

Ответ: В числе $100!$ 24 нуля.

Итоговые ответы:

• В числе $10!$ — 2 нуля.
• В числе $20!$ — 4 нуля.
• В числе $40!$ — 9 нулей.
• В числе $100!$ — 24 нуля.

Пояснение:

1. Для вычисления количества нулей в числе $n!$ мы делим число $n$ на степени числа 5.
2. Каждый раз, когда степень числа 5 (например, $5^1, 5^2, 5^3$) делится на $n$, мы добавляем соответствующее количество в общий счет.
3. Это позволяет вычислить, сколько раз 5 появляется как множитель в разложении числа $n!$, а значит, сколько нулей будет в конце числа.