ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

C каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа:

а) 10!;

б) 20!;

в) 40!;

г) 100!?

По определению: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$;

Каждый пятый множитель в числе $n!$ делится на 5, каждый двадцать пятый делится на $5^2$ и так далее, получим формулу показателя степени числа 5 в разложении $n!$ (учитывается только целая часть от деления):

$$N = \frac{n}{5} + \frac{n}{5^2} + \frac{n}{5^3} + \cdots + \frac{n}{5^m}, \text{где } 5^m \leq n;$$

а) Для числа $10!$:

$$N = \frac{10}{5} = 2;$$

б) Для числа $20!$:

$$N = \frac{20}{5} = 4;$$

в) Для числа $40!$:

$$N = \frac{40}{5} + \frac{40}{25} = 8 + 1 = 9;$$

г) Для числа $100!$:

$$N = \frac{100}{5} + \frac{100}{25} = 20 + 4 = 24.$$

Определение:

Факториал числа $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n.$$

Каждое пятое число в этом произведении делится на 5, каждое двадцатое число делится на $5^2$, каждое стое число делится на $5^3$ и так далее. Чтобы найти степень числа 5 в разложении $n!$, используем следующую формулу:

$$N = \frac{n}{5} + \frac{n}{5^2} + \frac{n}{5^3} + \cdots + \frac{n}{5^m},$$

где $m$ — наибольший показатель степени 5, такой что $5^m \leq n$, а дроби берутся только с целыми частями от деления.

Теперь разберем каждое число в задаче.

а) Для числа $10!$

Шаг 1: Применяем формулу

Нам нужно найти степень числа 5 в разложении $10!$. По формуле, будем делить число 10 на 5 и его степени:

• $\frac{10}{5} = 2$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10).

Далее, проверяем $\frac{10}{25}$, но поскольку $25 > 10$, деление будет равно 0.

Таким образом, степень числа 5 в разложении $10!$:

$$N = 2.$$

Ответ: Степень числа 5 в разложении $10!$ равна 2.

б) Для числа $20!$

Шаг 1: Применяем формулу

Нам нужно найти степень числа 5 в разложении $20!$. Применяем формулу, делим 20 на 5 и его степени:

• $\frac{20}{5} = 4$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20).
• $\frac{20}{25} = 0$ (так как $25 > 20$, деление даёт 0).

Таким образом, степень числа 5 в разложении $20!$:

$$N = 4.$$

Ответ: Степень числа 5 в разложении $20!$ равна 4.

в) Для числа $40!$

Шаг 1: Применяем формулу

Нам нужно найти степень числа 5 в разложении $40!$. Применяем формулу, делим 40 на 5 и его степени:

• $\frac{40}{5} = 8$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40).
• $\frac{40}{25} = 1$ (числа, делящиеся на 25: 25).

Далее, проверяем $\frac{40}{125}$, но поскольку $125 > 40$, деление будет равно 0.

Таким образом, степень числа 5 в разложении $40!$:

$$N = 8 + 1 = 9.$$

Ответ: Степень числа 5 в разложении $40!$ равна 9.

г) Для числа $100!$

Шаг 1: Применяем формулу

Нам нужно найти степень числа 5 в разложении $100!$. Применяем формулу, делим 100 на 5 и его степени:

• $\frac{100}{5} = 20$ (числа, делящиеся на 5: 5, 10, 15, 20, …, 100).
• $\frac{100}{25} = 4$ (числа, делящиеся на 25: 25, 50, 75, 100).
• $\frac{100}{125} = 0$ (так как $125 > 100$, деление даёт 0).

Таким образом, степень числа 5 в разложении $100!$:

$$N = 20 + 4 = 24.$$

Ответ: Степень числа 5 в разложении $100!$ равна 24.

Итоговые ответы:

• Степень числа 5 в разложении $10!$ равна 2.
• Степень числа 5 в разложении $20!$ равна 4.
• Степень числа 5 в разложении $40!$ равна 9.
• Степень числа 5 в разложении $100!$ равна 24.

Пояснение:

1. Для вычисления степени числа 5 в факториале мы разделили $n$ на $5^1, 5^2, 5^3$, пока степень $5^m$ не стала больше $n$.
2. Для каждого деления мы брали только целую часть от деления, так как в факториале учитываются только целые множители.
3. Суммируя все полученные значения, мы получали степень числа 5 в разложении $n!$.