ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Полагают, по определению, что n! = 1 • 2 • 3 4)… • (n — 1) • п\ (символ п\ читают п-факториал , а 1! = 1. C каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа:

а) 10!;

б) 20!;

в) 40!;

г) 100!?

По определению: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$;

Каждый второй множитель в числе $n!$ делится на 2, каждый четвертый делится на $2^2$ и так далее, получим формулу показателя степени числа два в разложении числа $n!$ (учитывается только целая часть от деления):

$$N = \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + \frac{n}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^m}, \text{ где } 2^m \leq n;$$

а) Для числа $10!$:

$$N = \frac{10}{2} + \frac{10}{4} + \frac{10}{8} = 5 + 2 + 1 = 8;$$

б) Для числа $20!$:

$$N = \frac{20}{2} + \frac{20}{4} + \frac{20}{8} + \frac{20}{16} = 10 + 5 + 2 + 1 = 18;$$

в) Для числа $40!$:

$$N = \frac{40}{2} + \frac{40}{4} + \frac{40}{8} + \frac{40}{16} + \frac{40}{32} = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38;$$

г) Для числа $100!$:

$$N = \frac{100}{2} + \frac{100}{4} + \frac{100}{8} + \frac{100}{16} + \frac{100}{32} + \frac{100}{64} = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97;$$

Определение:

Число $n!$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n.$$

Число 2 делит каждое второе число в этом произведении, число $2^2$ делит каждое четвертое число, $2^3$ делит каждое восьмое число и так далее. Поэтому степень числа 2 в разложении $n!$ можно найти по следующей формуле:

$$N = \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + \frac{n}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^m}, \text{ где } 2^m \leq n.$$

Здесь $m$ — это наибольший показатель степени 2, такой что $2^m \leq n$. Каждое из делений на степени двойки учитывает количество чисел, делящихся на $2, 2^2, 2^3, \dots$.

Теперь давайте разберем каждое из чисел на примере с максимально подробным решением.

а) Для числа $10!$

Шаг 1: Разделим $10$ на степени двойки

Найдем степень числа 2 в разложении $10!$:

• $\frac{10}{2} = 5$ (числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, 8, 10)
• $\frac{10}{4} = 2$ (числа, делящиеся на 4: 4, 8)
• $\frac{10}{8} = 1$ (число, делящееся на 8: 8)

Теперь сложим все части:

$$N = 5 + 2 + 1 = 8.$$

Ответ: Степень числа 2 в разложении $10!$ равна 8.

б) Для числа $20!$

Шаг 1: Разделим $20$ на степени двойки

Найдем степень числа 2 в разложении $20!$:

• $\frac{20}{2} = 10$ (числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
• $\frac{20}{4} = 5$ (числа, делящиеся на 4: 4, 8, 12, 16, 20)
• $\frac{20}{8} = 2$ (числа, делящиеся на 8: 8, 16)
• $\frac{20}{16} = 1$ (число, делящееся на 16: 16)

Теперь сложим все части:

$$N = 10 + 5 + 2 + 1 = 18.$$

Ответ: Степень числа 2 в разложении $20!$ равна 18.

в) Для числа $40!$

Шаг 1: Разделим $40$ на степени двойки

Найдем степень числа 2 в разложении $40!$:

• $\frac{40}{2} = 20$ (числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, …, 40)
• $\frac{40}{4} = 10$ (числа, делящиеся на 4: 4, 8, 12, …, 40)
• $\frac{40}{8} = 5$ (числа, делящиеся на 8: 8, 16, 24, 32, 40)
• $\frac{40}{16} = 2$ (числа, делящиеся на 16: 16, 32)
• $\frac{40}{32} = 1$ (число, делящееся на 32: 32)

Теперь сложим все части:

$$N = 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38.$$

Ответ: Степень числа 2 в разложении $40!$ равна 38.

г) Для числа $100!$

Шаг 1: Разделим $100$ на степени двойки

Найдем степень числа 2 в разложении $100!$:

• $\frac{100}{2} = 50$ (числа, делящиеся на 2: 2, 4, 6, …, 100)
• $\frac{100}{4} = 25$ (числа, делящиеся на 4: 4, 8, 12, …, 100)
• $\frac{100}{8} = 12$ (числа, делящиеся на 8: 8, 16, 24, …, 100)
• $\frac{100}{16} = 6$ (числа, делящиеся на 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96)
• $\frac{100}{32} = 3$ (числа, делящиеся на 32: 32, 64)
• $\frac{100}{64} = 1$ (число, делящееся на 64: 64)

Теперь сложим все части:

$$N = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97.$$

Ответ: Степень числа 2 в разложении $100!$ равна 97.

Итоговые ответы:

• Степень числа 2 в разложении $10!$ равна 8.
• Степень числа 2 в разложении $20!$ равна 18.
• Степень числа 2 в разложении $40!$ равна 38.
• Степень числа 2 в разложении $100!$ равна 97.

Пояснение:

1. Мы вычислили количество делителей числа 2, начиная с деления на 2 и затем на его степени $2^2, 2^3, 2^4, \dots$, пока степень двойки не станет больше числа $n$.
2. Сложение результатов каждого деления даёт степень числа 2 в факториале $n!$.