ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите утверждение:

а) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число p, то (n + m) i p и (n — m) : р.*

б) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число ру а Xt у — произвольные натуральные числа, то (nx ± ту) : р.

в) Если натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное m не делится на p, то ни сумма n + m, ни разность n — m не делятся на р.

г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число p, то и это последнее слагаемое делится на р.

Краткий ответ:

a) Доказать, что если

$n : p$ и $m : p$ , то тогда $(n + m) : p$ и $(n - m) : p$ ;
$n : p$ , значит $n = p q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ ;
$m : p$ , значит $m = p q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ ;

$\frac{n + m}{p} = \frac{p q_{1} + p q_{2}}{p} = \frac{p (q_{1} + q_{2})}{p} = q_{1} + q_{2} \in N;$ $\frac{n - m}{p} = \frac{p q_{1} - p q_{2}}{p} = \frac{p (q_{1} - q_{2})}{p} = q_{1} - q_{2} \in N;$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $n : p$ и $m : p$ , $a, x, y \in N$ , то $(n x \pm m y) : p$ ;
$n : p$ , значит $n = p q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ ;
$m : p$ , значит $m = p q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ ;

$\frac{n x \pm m y}{p} = \frac{p q_{1} x}{p} \pm \frac{p q_{2} y}{p} = q_{1} x \pm q_{2} y \in N;$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что если $n : p$ и $m : p$ , то тогда $(n + m) \equiv̸ p$ и $(n - m) \equiv̸ p$ ;
$n : p$ , значит $n = p q_{1}$ , где $q_{1} \in N$ ;
Допустим, что $(n + m) : p$ , значит $(n + m) = p q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ , тогда:

$m = n - p q_{2} = p q_{2} - p q_{1} \in N (q_{2} > q_{1});$

Допустим, что $(n - m) : p$ , значит $(n - m) = p q_{2}$ , где $q_{2} \in N$ , тогда:

$m = n - p q_{2} = p q_{1} - p q_{2} \in N (q_{1} > q_{2});$

Получается, что $m : p$ , что противоречит условию задачи, значит $(n + m) \equiv̸ p$ и $(n - m) \equiv̸ p$ , что и требовалось доказать.

г) Доказать, что если $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} : p$ и $(a_{1} + \dots + a_{n} + m) : p$ , то тогда $m : p$ ;
$a_{n} : p$ , значит $a_{n} = p q_{n}$ , где $q_{n} \in N$ ;

$(a_{1} + \dots + a_{n} + m) : p, значит (a_{1} + \dots + a_{n} + m) = p q, где q \in N;$ $a_{1} + \dots + a_{n} + m = p q - p q_{n} = p (q - q_{1} - \dots - q_{n}) \in N;$

Следовательно, $m : p$ , что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

а) Доказать, что если $n : p$ и $m : p$ , то тогда $(n + m) : p$ и $(n - m) : p$ .

Дано:

$n : p$ означает, что $n$ делится на $p$ .
$m : p$ означает, что $m$ делится на $p$ .

Нужно доказать:

$n + m$ делится на $p$ .
$n - m$ делится на $p$ .

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$ :

Так как $n : p$ , существует такое натуральное число $q_{1}$ , что:

$n = p q_{1}$

Так как $m : p$ , существует такое натуральное число $q_{2}$ , что:

$m = p q_{2}$

Посмотрим на выражение $n + m$ :

Подставим выражения для $n$ и $m$ :

$n + m = p q_{1} + p q_{2} = p (q_{1} + q_{2})$

Мы видим, что сумма $n + m$ равна $p$ умноженному на сумму $q_{1} + q_{2}$ . Так как $q_{1}$ и $q_{2}$ — натуральные числа, их сумма также является натуральным числом. Следовательно:

$n + m = p (q_{1} + q_{2})$

То есть, $n + m$ делится на $p$ .

Посмотрим на выражение $n - m$ :

Аналогично, подставим выражения для $n$ и $m$ :

$n - m = p q_{1} - p q_{2} = p (q_{1} - q_{2})$

Мы видим, что разность $n - m$ равна $p$ умноженному на разницу $q_{1} - q_{2}$ . Так как $q_{1}$ и $q_{2}$ — натуральные числа, их разность также является целым числом. Следовательно:

$n - m = p (q_{1} - q_{2})$

То есть, $n - m$ также делится на $p$ .

Таким образом, мы доказали, что если $n : p$ и $m : p$ , то $(n + m) : p$ и $(n - m) : p$ .

б) Доказать, что если $n : p$ и $m : p$ , $a, x, y \in N$ , то $(n x \pm m y) : p$ .

Дано:

$n : p$ означает, что $n$ делится на $p$ .
$m : p$ означает, что $m$ делится на $p$ .
$a, x, y$ — натуральные числа.

Нужно доказать:

$n x \pm m y$ делится на $p$ .

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$ :

Так как $n : p$ , существует такое натуральное число $q_{1}$ , что:

$n = p q_{1}$

Так как $m : p$ , существует такое натуральное число $q_{2}$ , что:

$m = p q_{2}$

Посмотрим на выражение $n x \pm m y$ :

Подставим выражения для $n$ и $m$ :

$n x = p q_{1} x и m y = p q_{2} y$

Теперь подставим эти выражения в $n x \pm m y$ :

$n x \pm m y = p q_{1} x \pm p q_{2} y = p (q_{1} x \pm q_{2} y)$

Мы видим, что выражение $n x \pm m y$ равно $p$ , умноженному на выражение $(q_{1} x \pm q_{2} y)$ . Так как $q_{1} x$ и $q_{2} y$ — целые числа, их сумма или разность тоже будет целым числом. Следовательно:

$n x \pm m y = p (q_{1} x \pm q_{2} y)$

То есть, $n x \pm m y$ делится на $p$ .

Таким образом, мы доказали, что если $n : p$ и $m : p$ , то $n x \pm m y$ делится на $p$ .

в) Доказать, что если $n : p$ и $m : p$ , то $(n + m) \equiv̸ p$ и $(n - m) \equiv̸ p$ .

Дано:

$n : p$ означает, что $n$ делится на $p$ .
$m : p$ означает, что $m$ делится на $p$ .

Нужно доказать:

$n + m$ не равно $p$ и $n - m$ не равно $p$ .

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$ :

Так как $n : p$ , существует такое натуральное число $q_{1}$ , что:

$n = p q_{1}$

Так как $m : p$ , существует такое натуральное число $q_{2}$ , что:

$m = p q_{2}$

Посмотрим на выражение $n + m$ :

Подставим выражения для $n$ и $m$ :

$n + m = p q_{1} + p q_{2} = p (q_{1} + q_{2})$

Мы видим, что сумма $n + m$ равна $p$ , умноженному на сумму $q_{1} + q_{2}$ . Так как $q_{1}$ и $q_{2}$ — натуральные числа, их сумма всегда больше 1. Следовательно:

$n + m = p (q_{1} + q_{2})$

Таким образом, $n + m$ не может быть равно $p$ , так как сумма $q_{1} + q_{2}$ всегда больше 1.

Посмотрим на выражение $n - m$ :

Подставим выражения для $n$ и $m$ :

$n - m = p q_{1} - p q_{2} = p (q_{1} - q_{2})$

Мы видим, что разность $n - m$ равна $p$ , умноженному на разницу $q_{1} - q_{2}$ . Так как $q_{1}$ и $q_{2}$ — натуральные числа, их разница всегда больше 1 (если $q_{1} \neq q_{2}$ ). Следовательно:

$n - m = p (q_{1} - q_{2})$

Таким образом, $n - m$ не может быть равно $p$ , так как разница $q_{1} - q_{2}$ всегда больше 1.

Таким образом, мы доказали, что $(n + m) \equiv̸ p$ и $(n - m) \equiv̸ p$ .

г) Доказать, что если $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} : p$ и $(a_{1} + \dots + a_{n} + m) : p$ , то тогда $m : p$ .

Дано:

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} : p$ означают, что все $a_{i}$ делятся на $p$ .
$(a_{1} + \dots + a_{n} + m) : p$ означает, что сумма $a_{1} + \dots + a_{n} + m$ делится на $p$ .

Нужно доказать:

$m : p$ .

Решение:

Запишем каждое $a_{i}$ через множитель $p$ :

Так как $a_{1} : p$ , существует такое натуральное число $q_{1}$ , что:

$a_{1} = p q_{1}$

Аналогично для всех других $a_{i}$ :

$a_{2} = p q_{2}, a_{3} = p q_{3}, \dots, a_{n} = p q_{n}$

Запишем сумму $a_{1} + \dots + a_{n}$ :

Тогда сумма $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ будет равна:

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = p q_{1} + p q_{2} + \dots + p q_{n} = p (q_{1} + q_{2} + \dots + q_{n})$

Таким образом, сумма $a_{1} + \dots + a_{n}$ делится на $p$ .

Посмотрим на выражение $a_{1} + \dots + a_{n} + m$ :

Из условия задачи нам известно, что $(a_{1} + \dots + a_{n} + m) : p$ , то есть:

$a_{1} + \dots + a_{n} + m = p q$

для некоторого $q \in N$ . Подставим сумму $a_{1} + \dots + a_{n}$ :

$p (q_{1} + q_{2} + \dots + q_{n}) + m = p q$

Переносим все, что содержит $p$ , на одну сторону:

$m = p (q - q_{1} - q_{2} - \dots - q_{n})$

Таким образом, $m$ является кратным $p$ .

Мы доказали, что $m : p$ .

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра