ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;

б) остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.

а) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 100q + p;$$

где $q$ — любое натуральное число, а $p$ — натуральное число, состоящее из одного или двух знаков (число $p$ состоит из последних двух цифр числа $n$).

Найдем отношение:

$$\frac{n}{4} = \frac{100q + p}{4} = 25q + \frac{p}{4}.$$

Из формулы очевидно, что остаток от деления числа $n$ на 4 равен остатку от деления числа $p$ на 4, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами;

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 100q + p;$$

где $q$ — любое натуральное число, а $p$ — натуральное число, состоящее из одного или двух знаков (число $p$ состоит из последних двух цифр числа $n$).

Найдем отношение:

$$\frac{n}{25} = \frac{100q + p}{25} = 4q + \frac{p}{25}.$$

Из формулы очевидно, что остаток от деления числа $n$ на 25 равен остатку от деления числа $p$ на 25, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;

Шаг 1: Представление числа $n$

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 100q + p,$$

где:

• $q$ — целая часть числа $n$, то есть число, которое получается при делении $n$ на 100 (то есть это все цифры числа $n$, кроме последних двух),
• $p$ — число, состоящее из последних двух цифр числа $n$. Число $p$ может быть как одноцифровым, так и двухзначным, и именно оно определяет остаток при делении $n$ на 4.

Таким образом, для числа $n$, состоящего из цифр $q$ и $p$, мы можем записать его как:

$$n = 100q + p,$$

где $p$ — это последние две цифры числа $n$.

Шаг 2: Деление $n$ на 4

Теперь, чтобы найти остаток от деления числа $n$ на 4, рассмотрим деление $n = 100q + p$ на 4:

$$\frac{n}{4} = \frac{100q + p}{4} = \frac{100q}{4} + \frac{p}{4}.$$

Так как $\frac{100q}{4} = 25q$ — целое число, то остаток от деления $n$ на 4 зависит только от остатка от деления $p$ на 4. Это происходит потому, что $25q$ делится на 4 без остатка, а остаток от деления $n$ на 4 дается остатком от деления числа $p$ на 4.

Шаг 3: Вывод

Из этого мы можем сделать вывод, что остаток от деления числа $n$ на 4 равен остатку от деления числа $p$ (последних двух цифр числа $n$) на 4. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Остаток от деления $n$ на 4 равен остатку от деления числа, образованного его последними двумя цифрами, на 4.

б) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами;

Шаг 1: Представление числа $n$

Аналогично предыдущей части, любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 100q + p,$$

где:

• $q$ — целая часть числа $n$, то есть число, которое получается при делении $n$ на 100,
• $p$ — последние две цифры числа $n$, то есть число, состоящее из единиц и десятков.

Число $p$ — это и есть число, которое мы будем делить на 25, чтобы найти остаток.

Шаг 2: Деление $n$ на 25

Теперь рассмотрим деление $n$ на 25:

$$\frac{n}{25} = \frac{100q + p}{25} = \frac{100q}{25} + \frac{p}{25}.$$

Поскольку $\frac{100q}{25} = 4q$ — это целое число, то остаток от деления $n$ на 25 зависит только от остатка от деления $p$ на 25. Остаток от деления $n$ на 25 определяется остатком от деления $p$ на 25.

Шаг 3: Вывод

Из этого мы делаем вывод, что остаток от деления числа $n$ на 25 равен остатку от деления числа $p$ (последних двух цифр числа $n$) на 25. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Остаток от деления $n$ на 25 равен остатку от деления числа, образованного его последними двумя цифрами, на 25.