ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все простые числа p и q такие, что:

а) 5p + 17q = 140;

б) 7p + 3q = 86.

Найти все простые числа $p$ и $q$ такие, что:

а) $5p + 17q = 140$;

$5p = 140 — 17q$;

$p = 28 — \frac{17q}{5} = 28 — \frac{3 \cdot 5q + 2q}{5} = 28 — 3q — \frac{2q}{5}$;

$(2q)$ кратно 5 — простому числу, значит: $q = 5$;

$p = 28 — 3 \cdot 5 — \frac{2 \cdot 5}{5} = 28 — 15 — 2 = 11$;

Ответ: $p = 11$; $q = 5$.

б) $7p + 3q = 86$;

$7p + 3q = 93 — 7$;

$7p + 7 = 93 — 3q$;

$7(p + 1) = 3(31 — q)$;

$p + 1 = \frac{31 — q}{3}$;

$(31 — q)$ кратно 7, значит:

$31 — q = 7$, отсюда $q = 24$;

$31 — q = 14$, отсюда $q_1 = 17$;

$31 — q = 21$, отсюда $q = 10$;

$31 — q = 28$, отсюда $q_2 = 3$;

Значения параметра $p$:

$7p = 86 — 3q$, отсюда $p = \frac{86 — 3q}{7}$;

$p_1 = \frac{86 — 3 \cdot 17}{7} = \frac{86 — 51}{7} = \frac{35}{7} = 5$;

$p_2 = \frac{86 — 3 \cdot 3}{7} = \frac{86 — 9}{7} = \frac{77}{7} = 11$;

Ответ: $p = 11$, $q = 3$ или $p = 5$, $q = 17$.

Задача требует найти все простые числа $p$ и $q$, которые удовлетворяют указанным уравнениям.

а) $5p + 17q = 140$

1. Преобразуем уравнение:

Мы начинаем с уравнения:

$$5p + 17q = 140.$$

Из этого уравнения выразим $p$:

$$5p = 140 — 17q.$$

Теперь, чтобы найти $p$, разделим обе части на 5:

$$p = \frac{140 — 17q}{5}.$$

Таким образом, для того чтобы $p$ было целым числом, выражение $140 — 17q$ должно быть делимо на 5.

2. Найдем, при каких значениях $q$ выражение $140 — 17q$ делится на 5:

Для того чтобы выражение $140 — 17q$ делилось на 5, рассмотрим это выражение по модулю 5:

$$140 — 17q \equiv 0 \pmod{5}.$$

Поскольку $140 \equiv 0 \pmod{5}$ (так как $140 \div 5 = 28$), остается только решить:

$$-17q \equiv 0 \pmod{5}.$$

Заметим, что $17 \equiv 2 \pmod{5}$, следовательно, уравнение сводится к:

$$-2q \equiv 0 \pmod{5}.$$

Так как $-2 \equiv 3 \pmod{5}$, это уравнение можно переписать как:

$$3q \equiv 0 \pmod{5}.$$

Поскольку 3 и 5 взаимно просты, то $q$ должно быть кратно 5. То есть:

$$q = 5.$$

3. Подставим $q = 5$ в уравнение:

Теперь, когда $q = 5$, подставим это значение в исходное уравнение $5p + 17q = 140$:

$$5p + 17 \cdot 5 = 140,$$ $$5p + 85 = 140,$$ $$5p = 140 — 85 = 55,$$ $$p = \frac{55}{5} = 11.$$

4. Проверим решение:

Таким образом, $p = 11$ и $q = 5$. Проверим, что это решение соответствует исходному уравнению:

$$5 \cdot 11 + 17 \cdot 5 = 55 + 85 = 140.$$

Решение верно.

Ответ: $p = 11$, $q = 5$.

б) $7p + 3q = 86$

1. Преобразуем уравнение:

Начнем с уравнения:

$$7p + 3q = 86.$$

Из этого уравнения выразим $p$:

$$7p = 86 — 3q.$$

Теперь, чтобы найти $p$, разделим обе части на 7:

$$p = \frac{86 — 3q}{7}.$$

Чтобы $p$ было целым числом, выражение $86 — 3q$ должно быть делимо на 7.

2. Найдем, при каких значениях $q$ выражение $86 — 3q$ делится на 7:

Для того чтобы выражение $86 — 3q$ делилось на 7, рассмотрим это выражение по модулю 7:

$$86 — 3q \equiv 0 \pmod{7}.$$

Поскольку $86 \equiv 2 \pmod{7}$ (так как $86 \div 7 = 12$ с остатком 2), уравнение становится:

$$2 — 3q \equiv 0 \pmod{7},$$

или

$$3q \equiv 2 \pmod{7}.$$

Теперь умножим обе части на обратный элемент 3 по модулю 7. Для этого найдем, что $3 \cdot 5 \equiv 1 \pmod{7}$, то есть обратный элемент для 3 по модулю 7 — это 5. Умножаем обе части на 5:

$$q \equiv 5 \cdot 2 \pmod{7},$$ $$q \equiv 10 \pmod{7},$$ $$q \equiv 3 \pmod{7}.$$

Таким образом, $q$ может быть $3$, $10$, $17$, $24$, и так далее.

3. Подставим различные значения $q$:

• Для $q = 3$:

$$p = \frac{86 — 3 \cdot 3}{7} = \frac{86 — 9}{7} = \frac{77}{7} = 11.$$

Это значение для $p$ является простым числом.

• Для $q = 10$:

$$p = \frac{86 — 3 \cdot 10}{7} = \frac{86 — 30}{7} = \frac{56}{7} = 8.$$

Это значение для $p$ не является простым числом.

• Для $q = 17$:

$$p = \frac{86 — 3 \cdot 17}{7} = \frac{86 — 51}{7} = \frac{35}{7} = 5.$$

Это значение для $p$ является простым числом.

• Для $q = 24$:

$$p = \frac{86 — 3 \cdot 24}{7} = \frac{86 — 72}{7} = \frac{14}{7} = 2.$$

Это значение для $p$ также является простым числом.

4. Проверим решения:

Теперь проверим каждое из полученных решений:

• Для $p = 11$ и $q = 3$:

$$7 \cdot 11 + 3 \cdot 3 = 77 + 9 = 86.$$

Решение верно.

• Для $p = 5$ и $q = 17$:

$$7 \cdot 5 + 3 \cdot 17 = 35 + 51 = 86.$$

$$7 \cdot 2 + 3 \cdot 24 = 14 + 72 = 86.$$

Решение верно.

5. Ответ:

Таким образом, возможные решения:

• $p = 11$, $q = 3$,
• $p = 5$, $q = 17$,$$

Итоговые ответы:

• а) $p = 11$, $q = 5$.
• б) $p = 11$, $q = 3$ или $p = 5$, $q = 17$