ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться:

а) на 103;

б) на 618;

в) на 642;

г) на 3193?

Среди $n$ натуральных чисел одно и только одно делится на $n$;

Если $a:b$ и $c$ — любое натуральное число, то $ac:b$, то есть если хотя бы одно число из произведения кратно $b$, то произведение кратно $b$.

Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться:

а) На число 103:

$$\frac{103}{103}=1;$$

Наверняка существует одно число, кратное 103;
Ответ: нет.

б) На число 618:

$$618=103\cdot 6\Rightarrow \frac{103}{103}=1\text{ и }\frac{103}{6}=17\frac{1}{6};$$

Наверняка существует одно число, кратное 103 и 17 чисел, кратных 6, значит произведение этих чисел, кратно 618;
Ответ: нет.

в) На число 642:

$$642=107\cdot 6\Rightarrow \frac{103}{107}<1\text{ и }\frac{103}{6}=17\frac{1}{6};$$

Наверняка существует 17 чисел, кратных 6, однако может не быть ни одного числа, кратного 107;
Ответ: да.

г) На число 3 193:

$$3193=103\cdot 31\Rightarrow \frac{103}{103}=1\text{ и }\frac{103}{31}=3\frac{10}{31};$$

Наверняка существует одно число, кратное 103 и три числа, кратных 31, значит произведение этих чисел, кратно 3 193;
Ответ: нет.

Теорема 1: Среди $n$ натуральных чисел одно и только одно делится на $n$.

Значение теоремы: Из $n$ натуральных чисел существует одно и только одно число, которое делится на $n$.

Пример: Пусть $n=5$. Рассмотрим 5 чисел: $1,2,3,4,5$. Единственное число, которое делится на 5 — это $5$. То есть, теорема утверждает, что среди $n$ чисел одно из них обязательно будет делиться на $n$, и это будет только одно число.

Теорема 2: Если $a:b$ и $c$ — любое натуральное число, то $ac:b$, то есть если хотя бы одно число из произведения кратно $b$, то произведение будет кратно $b$.

Доказательство: Если $a$ делится на $b$, то существует некоторое целое число $k$, такое что $a=b\cdot k$. Если $c$ — любое натуральное число, то произведение $a\cdot c$ будет равно:

$$a\cdot c=(b\cdot k)\cdot c=b\cdot (k\cdot c)$$

Очевидно, что произведение $a\cdot c$ делится на $b$, так как оно имеет вид $b\cdot (k\cdot c)$, где $k\cdot c$ — это целое число.

Теперь перейдем к каждой из задач:

а) Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться на число 103?

Рассмотрим 103 идущих подряд натуральных чисел: $n,n+1,n+2,\dots ,n+102$.

Число 103 — это простое число. Мы ищем, может ли среди 103 подряд идущих чисел не быть числа, кратного 103.

Очевидно, что среди этих чисел всегда будет одно число, которое делится на 103, потому что если мы рассмотрим множество из $103$ чисел, то по принципу делимости хотя бы одно из них будет кратно 103 (это будет число, которое само равно 103, или которое является кратным 103).

Например, если начинаем с $n=1$, то последовательность будет выглядеть как $1,2,3,\dots ,103$, и, очевидно, число 103 из этой последовательности делится на 103.

Ответ: Нет, произведение 103 идущих подряд чисел обязательно делится на 103, так как хотя бы одно число будет кратно 103.

б) Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться на число 618?

Число 618 раскладывается на множители:

$$618=103\cdot 6.$$

Нам нужно проверить, может ли произведение 103 идущих подряд чисел не делиться на 618. Для этого рассмотрим два множителя 618 — 103 и 6.

• Из предыдущей части задачи мы уже знаем, что среди 103 подряд идущих чисел обязательно будет одно, кратное 103.
• Теперь, нужно проверить, может ли среди этих чисел не быть чисел, кратных 6. Поскольку 103 числа — это достаточно большая последовательность, можно ожидать, что среди них будет хотя бы 17 чисел, кратных 6 (так как на каждые 6 чисел одно будет кратно 6).

Таким образом, среди 103 чисел будут и числа, кратные 6, и число, кратное 103. Это означает, что произведение этих чисел обязательно будет делиться на 618.

Ответ: Нет, произведение 103 идущих подряд чисел обязательно делится на 618.

в) Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться на число 642?

Число 642 раскладывается на множители:

$$642=107\cdot 6.$$

Нам нужно проверить, может ли произведение 103 идущих подряд чисел не делиться на 642. Для этого рассмотрим два множителя 642 — 107 и 6.

• Среди 103 подряд идущих чисел обязательно будет одно число, кратное 6, так как на каждые 6 чисел одно делится на 6. В нашем случае это будут 17 чисел, кратных 6.
• Однако, поскольку 107 — это простое число, вероятность того, что среди 103 чисел будет хотя бы одно, кратное 107, мала. Возможность того, что среди 103 подряд чисел не будет числа, кратного 107, существует, потому что 107 — достаточно большое простое число. Поэтому мы не можем гарантировать, что среди этих чисел найдется число, которое делится на 107.

Ответ: Да, произведение 103 идущих подряд чисел может не делиться на 642, так как среди этих чисел может не быть числа, кратного 107.

г) Может ли произведение 103 идущих подряд натуральных чисел не делиться на число 3193?

Число 3193 раскладывается на множители:

$$3193=103\cdot 31.$$

Нам нужно проверить, может ли произведение 103 идущих подряд чисел не делиться на 3193. Для этого рассмотрим два множителя 3193 — 103 и 31.

• Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что среди 103 идущих подряд чисел обязательно будет одно число, кратное 103.
• Также, среди этих 103 чисел будут, по крайней мере, три числа, кратные 31 (так как на каждые 31 число одно будет делиться на 31).

Таким образом, среди 103 чисел будут числа, кратные 103 и 31. Следовательно, произведение этих чисел обязательно будет делиться на 3193.

Ответ: Нет, произведение 103 идущих подряд чисел обязательно делится на 3193.

Итоговые ответы:

• а) Ответ: нет.
• б) Ответ: нет.
• в) Ответ: да.
• г) Ответ: нет.