ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите простые числа p и q, если известно, что корни уравнения x² — px + q = 0 — натуральные числа.

Найти все простые числа $p$ и $q$, если корни уравнения $x^2-px+q=0$ являются натуральными числами;

1. По условию $x_1\in \mathbb{N}$ и $x_2\in \mathbb{N}$, значит по теореме Виета:$$x_1\cdot x_2=-(-p)=p\in \mathbb{N};$$$$x_1+x_2=q\in \mathbb{N};$$
2. $p$ — простое число, следовательно:$$x_1{x}_2=p,\text{ отсюда }{x}_2=\frac{p}{x_1};$$$$x_1=p,x_2=1\text{или}{x}_1=1,x_2=p;$$
3. В любом случае для числа $q$ имеем:$$q=x_1+x_2;$$$$q=p+1;$$
4. Числа $p$ и $q$ последовательные и простые, это возможно только при $p=2$ и $q=3$, в ином случае одно из чисел будет делиться на два;

Ответ: $p=2\mathrm{}$, $q=3$.

Необходимо найти все простые числа $p$ и $q$, если корни уравнения $x^2-px+q=0$ являются натуральными числами.

1) Применим теорему Виета

Рассмотрим квадратное уравнение:

$$x^2-px+q=0.$$

Согласно теореме Виета для корней квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$, где $a=1$, $b=-p$, и $c=q$, выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p$,
• Произведение корней: $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=q$.

Таким образом, для уравнения $x^2-px+q=0$ имеем:

• $x_1+x_2=p$,
• $x_1\cdot x_2=q$.

Условие задачи:

Из условия задачи нам известно, что корни $x_1$ и $x_2$ — натуральные числа, то есть $x_1\in \mathbb{N}$ и $x_2\in \mathbb{N}$.

2) Изменим выражения для $p$ и $q$

По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=p$, то есть $p$ — это сумма двух натуральных чисел $x_1$ и $x_2$.
• Произведение корней: $x_1\cdot x_2=q$, то есть $q$ — это произведение этих двух чисел.

Так как $p$ — это сумма двух натуральных чисел, а $q$ — их произведение, нам нужно теперь изучить, что могут быть за такие числа $x_1$ и $x_2$, при которых $p$ и $q$ являются простыми числами.

3) Применим свойство простоты числа $p$

Здесь важно, что $p$ — это простое число. Рассмотрим, что это означает для чисел $x_1$ и $x_2$.

• $x_1\cdot x_2=q$, и поскольку $p$ — простое число, $p$ может быть выражено как произведение двух натуральных чисел (в данном случае $x_1$ и $x_2$), если одно из этих чисел равно 1.
• Следовательно, одно из чисел $x_1$ или $x_2$ должно быть равно 1. Это условие приводит нас к следующим возможным вариантам для $x_1$ и $x_2$:

3.1) $x_1=p$, $x_2=1$ или $x_1=1$, $x_2=p$

Таким образом, если $x_1=p$ и $x_2=1$, то:

$$p=x_1+x_2=p+1.$$

Значит, $p$ и $q$ образуют простые числа, и это возможно только при $p=2$ и $q=3$.

3.2) В любом случае:

Так как $x_1=1$ или $x_2=1$, то:

$$q=x_1+x_2=p+1.$$

Это означает, что $q$ всегда будет на 1 больше, чем $p$.

4) Решение задачи

Теперь рассмотрим возможные значения $p$ и $q$. Мы знаем, что $p$ и $q$ должны быть простыми числами, и $q=p+1$.

Мы можем проверить несколько возможных значений:

• Если $p=2$, то $q=2+1=3$, оба числа $2$ и $3$ — простые.
• Если $p=3$, то $q=3+1=4$, но 4 не является простым числом.
• Если $p=5$, то $q=5+1=6$, но 6 не является простым числом.
• Если $p=7$, то $q=7+1=8$, но 8 не является простым числом.
• И так далее.

Таким образом, единственная пара $p$ и $q$, которая соответствует условиям задачи, это $p=2$ и $q=3$.

5) Ответ:

Ответ: $p=2$, $q=3$.