ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) любое натуральное число либо взаимно просто с заданным простым числом p, либо делится на p;

б) если произведение нескольких множителей делится на простое число p, то хотя бы один из множителей делится на р.

а) Любое натуральное число $a$ либо взаимно просто с заданным простым числом $p$, либо делится на $p$;

1. Число $p$ не имеет делителей, отличных от 1, кроме самого себя;
2. Если число $a$ имеет с числом $p$ общий делитель, то им является само число $p$, значит число $a$ делится на число $p$;
3. Если числа $a$ и $p$ не имеют общих делителей, то они являются взаимно простыми, что и требовалось доказать.

б) Если произведение нескольких множителей $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$;

1. Число $p$ не имеет делителей, отличных от 1, кроме самого себя;
2. Допустим, что число $p$ не является делителем ни одного из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, тогда произведение делителей нескольких из этих чисел должно быть равно $p$, что невозможно, так как $p$ — простое число;
3. Таким образом, хотя бы одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ должно делиться на число $p$, что и требовалось доказать.

а) Любое натуральное число $a$ либо взаимно просто с заданным простым числом $p$, либо делится на $p$;

Доказательство:

Исходные данные:
Пусть $p$ — простое число, и $a$ — натуральное число.

Первый случай:
Пусть $a$ делится на $p$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что:

$$a = p \cdot k.$$

В этом случае мы сразу утверждаем, что $a$ делится на $p$, так как $a$ выражается как произведение $p$ и некоторого целого числа $k$.

Второй случай:
Пусть теперь $a$ не делится на $p$. Это означает, что $a$ и $p$ не имеют общих делителей, отличных от 1. В таком случае, числа $a$ и $p$ называются взаимно простыми.

Доказательство:

• По определению простого числа $p$, оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. То есть:

  $$\text{Делители числа } p: 1, p.$$

• Если $a$ и $p$ не имеют общих делителей, то их НОД (наибольший общий делитель) равен 1. Это означает, что $a$ и $p$ взаимно простые.
• В противоположность этому, если $a$ делится на $p$, то НОД($a, p$) = $p$.

Вывод:
Таким образом, если $a$ не делится на $p$, то числа $a$ и $p$ взаимно простые. Если же $a$ делится на $p$, то $a$ и $p$ не являются взаимно простыми, так как их НОД не равен 1. Это и требовалось доказать.

б) Если произведение нескольких множителей $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$;

Доказательство:

Исходные данные:
Пусть $p$ — простое число, и даны множители $a_1, a_2, \ldots, a_n$, такие что произведение этих множителей делится на $p$. То есть:

$$p \mid (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n).$$

Нам нужно доказать, что хотя бы один из множителей $a_1, a_2, \ldots, a_n$ делится на $p$.

Предположение для доказательства от противного:
Пусть ни одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ не делится на $p$. Это означает, что для всех $i = 1, 2, \ldots, n$ выполняется:

$$p \nmid a_i.$$

То есть, ни одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ не имеет в качестве делителя $p$. Мы будем искать противоречие, предполагая, что все множители не делятся на $p$.

Рассмотрим произведение множителей:
Если $p$ не делит ни одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, то это означает, что $p$ не является делителем какого-либо из множителей. В таком случае, произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ также не может быть кратно $p$. Однако в условии задачи сказано, что произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ делится на $p$, что приводит к противоречию.

Вывод:
Таким образом, наше предположение о том, что ни одно из чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ не делится на $p$, неверно. Это значит, что хотя бы один из множителей $a_1, a_2, \ldots, a_n$ должен делиться на $p$. Это и требовалось доказать.

Итог:

• а) Любое натуральное число $a$ либо взаимно просто с простым числом $p$, либо делится на $p$.
• б) Если произведение нескольких чисел $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n$ делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей $a_1, a_2, \ldots, a_n$ делится на $p$.