ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа л, большего 1, есть простое число;

б) наименьший отличный от 1 делитель составного числа n не больше 4n;

в) если p, < р2 < )… < рп — простые числа, то число P1 р2… рп + 1 является либо простым числом, либо делится на простое число p, большее, чем рп;

г) простых чисел бесконечно много.

а) Пусть число $a$ — наименьший отличный от единицы делитель натурального числа $n$, большего единицы;

1. Допустим, что число $a$ не является простым, тогда его возможно разделить на число $a_1$, меньшее чем число $a$;
2. Число $a_1$ также будет являться делителем числа $n$, однако это противоречит условию задачи, значит число $a$ — простое, что и требовалось доказать.

б) Пусть $a$ — наименьший отличный от единицы делитель числа $n$;

1. Число $n$ можно представить в виде произведения $n=a\cdot p$, при этом $p\in \mathbb{N}$ и $p\ge a$ (так как $a$ — наименьший делитель числа $n$);
2. Допустим, что $a>\sqrt{n}$, значит $p\ge a>\sqrt{n}$, получим неравенство:
   $a\cdot p>\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}$, то есть $a\cdot p>n$, что противоречит предыдущему пункту, значит $a\le \sqrt{n}$, что и требовалось доказать.

в) Если $p_1<p_2<\cdots <p_n$ — простые числа, то число $a=p_1{p}_2\dots p_n+1$ либо является простым, либо делится на простое число $p$, большее чем $p_n$;

1. Число $p_1{p}_2\dots p_n$ делится на каждое из чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$, а число 1 не делится ни на одно из них, значит по свойству 3, число $a$ также не делится ни на одно из этих чисел;
2. Согласно теореме 1 число $a$ имеет хотя бы один простой делитель, значит существует простое число $p$, на которое делится число $a$, что и требовалось доказать;

(В условии задачи подразумевается, что $p_1,p_2,\dots ,p_n$ являются последовательными простыми числами и $p_1=2$, так как, например, число $307\cdot 311\cdot 313+1$ не является простым, а его наибольший простой делитель равен 73);

г) Доказать, что простых чисел бесконечно много;

1. Допустим, что множество $N=\{p_1;p_2;\dots ;p_n\}$ конечно и содержит все простые числа, тогда зададим число $a=p_1+p_2+\cdots +p_n+1$;
2. Число $p_1{p}_2\dots p_n$ делится на каждое из чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$, а число 1 не делится ни на одно из них, значит по свойству 3, число $a$ также не делится ни на одно из этих чисел;
3. Согласно теореме 1 число $a$ имеет хотя бы один простой делитель, значит существует простое число $p$, не входящее в множество $N$, на которое делится число $a$;
4. Возникает противоречие, значит простых чисел бесконечно много, что и требовалось доказать.

а) Пусть число $a$ — наименьший отличный от единицы делитель натурального числа $n$, большего единицы.

1. Анализ гипотезы:

Предположим, что число $a$ не является простым, то есть оно составное. Составное число, в свою очередь, можно разложить на два делителя, каждый из которых меньше самого числа. То есть существует число $a_1$, такое что $a_1<a$, и $a_1$ — делитель числа $a$.

2. Противоречие:

Поскольку $a_1$ меньше $a$ и является делителем $a$, это означает, что $a_1$ является также делителем числа $n$, так как $a$ — делитель числа $n$. Но это противоречит тому, что $a$ было выбрано как наименьший делитель числа $n$ (кроме единицы). Если бы $a_1$ было делителем $n$, это бы нарушило условие задачи.

3. Вывод:

Так как предположение о том, что $a$ составное, приводит к противоречию, то оно должно быть ложным. Следовательно, число $a$ должно быть простым. Это и требовалось доказать.

б) Пусть $a$ — наименьший отличный от единицы делитель числа $n$.

1. Раскладываем число $n$:

Пусть число $n$ представляется как произведение двух чисел: $n=a\cdot p$, где $p\in \mathbb{N}$, и $p\ge a$, так как $a$ — наименьший делитель числа $n$.

2. Рассмотрим гипотезу:

Допустим, что $a>\sqrt{n}$. Тогда $p\ge a>\sqrt{n}$. Рассмотрим неравенство:

$$a\cdot p>\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}=n\mathrm{.}$$

Это неравенство приводит к противоречию, так как мы только что сказали, что $n=a\cdot p$. Следовательно, мы не можем иметь $a\cdot p>n$, поскольку это утверждение нарушает исходное представление о числе $n$.

3. Вывод:

Поскольку гипотеза, что $a>\sqrt{n}$, приводит к противоречию, то она должна быть ложной. Следовательно, $a\le \sqrt{n}$. Это и требовалось доказать.

в) Пусть $p_1<p_2<\cdots <p_n$ — простые числа. Тогда число $a=p_1{p}_2\dots p_n+1$ либо является простым, либо делится на простое число $p$, большее чем $p_n$.

1. Рассмотрим число $a$:

Число $a$ задано как произведение первых $n$ простых чисел, увеличенное на единицу:

$$a=p_1{p}_2\dots p_n+1.$$

Здесь числа $p_1,p_2,\dots ,p_n$ — это последовательные простые числа.

2. Проверим делимость числа $a$:

• Число $p_1{p}_2\dots p_n$ делится на каждое из чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$, так как оно является их произведением.
• Число 1 не делится на никакие простые числа, поэтому число $a=p_1{p}_2\dots p_n+1$ не делится на ни одно из чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$. Это означает, что оно не делится ни на одно из первых $n$ простых чисел.

3. По теореме:

Согласно теореме, если число $a$ не делится на простые числа, входящие в состав его произведения, то оно должно иметь хотя бы один делитель, который является простым числом, большим чем $p_n$. Таким образом, число $a$ либо простое, либо делится на простое число, большее чем $p_n$.

4. Пример:

Возьмем конкретное число $a$:

$$a=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7+1=210+1=211.$$

Число 211 — простое, так как оно не делится на 2, 3, 5 или 7.

г) Доказать, что простых чисел бесконечно много.

1. Предположим, что простых чисел конечное количество:

Пусть множество всех простых чисел ограничено, и оно состоит из чисел $p_1,p_2,\dots ,p_n$.

Теперь зададим число $a$ как сумму всех простых чисел в этом множестве, увеличенную на 1:

$$a=p_1+p_2+\cdots +p_n+1.$$

2. Рассмотрим число $a$:

Число $p_1{p}_2\dots p_n$ делится на все простые числа $p_1,p_2,\dots ,p_n$, так как оно является их произведением. Число 1 не делится на ни одно из этих чисел, поэтому число $a=p_1+p_2+\cdots +p_n+1$ не делится на $p_1,p_2,\dots ,p_n$.

3. По теореме:

Число $a$ должно иметь хотя бы один делитель, который является простым числом, и это простое число не может быть ни одним из $p_1,p_2,\dots ,p_n$, так как мы уже доказали, что $a$ не делится на эти числа.

4. Противоречие:

Мы пришли к противоречию, так как наше предположение о конечности множества простых чисел не может быть истинным. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Это и требовалось доказать.

Итоговые выводы:

• а) Если наименьший отличный от единицы делитель числа $n$ — составное, то это приводит к противоречию, и поэтому $a$ должно быть простым.
• б) Если $a$ — наименьший делитель числа $n$, то $a\le \sqrt{n}$.
• в) Число $a=p_1{p}_2\dots p_n+1$ либо простое, либо делится на простое число, большее, чем $p_n$.
• г) Простых чисел бесконечно много.