ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выпишите все пары взаимно простых составных чисел, отрезка натурального ряда 1, 2, 3,)…, 20.

Взаимно простые числа не имеют общих делителей кроме единицы;

Запишем все возможные составные числа, не большие двадцати:

$$2^2=4;2\cdot 3=6;3^2=9;2\cdot 5=10;2^2\cdot 3=12;$$

$$$$$$2\cdot 7=14;3\cdot 5=15;2^4=16;3^2\cdot 2=18;2^2\cdot 5=20$$

Запишем все пары взаимно простых составных чисел:

$$4\text{ и }9;4\text{ и }15;8\text{ и }9;8\text{ и }15;9\text{ и }10;9\text{ и }14;9\text{ и }16;9\text{ и }20;$$

$$$$$$14\text{ и }15;15\text{ и }16$$

Определение взаимно простых чисел:
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен единице. То есть, у этих чисел нет общих делителей, кроме единицы. В другом смысле, два числа взаимно просты, если они не имеют общих простых множителей.

Примеры взаимно простых чисел:

• Числа 8 и 15 взаимно просты, так как их НОД равен 1 (делители числа 8: 1, 2, 4, 8; делители числа 15: 1, 3, 5, 15).
• Числа 6 и 10 не являются взаимно простыми, так как их НОД равен 2 (делители числа 6: 1, 2, 3, 6; делители числа 10: 1, 2, 5, 10).

1) Запишем все возможные составные числа, не большие двадцати:

Составные числа — это те числа, которые имеют более двух делителей. Мы будем искать все составные числа от 1 до 20, чтобы затем найти среди них взаимно простые пары.

Перечень составных чисел:

Составными числами от 1 до 20 являются:

• $4=2^2$ (делители: 1, 2, 4)
• $6=2\cdot 3$ (делители: 1, 2, 3, 6)
• $9=3^2$ (делители: 1, 3, 9)
• $10=2\cdot 5$ (делители: 1, 2, 5, 10)
• $12=2^2\cdot 3$ (делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12)
• $14=2\cdot 7$ (делители: 1, 2, 7, 14)
• $15=3\cdot 5$ (делители: 1, 3, 5, 15)
• $16=2^4$ (делители: 1, 2, 4, 8, 16)
• $18=3^2\cdot 2$ (делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18)
• $20=2^2\cdot 5$ (делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20)

Составные числа, не большие двадцати:

$$4;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20$$

2) Запишем все пары взаимно простых составных чисел:

Теперь, чтобы найти все пары взаимно простых составных чисел, нужно для каждой пары чисел проверить, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Если НОД равен 1, значит эти числа взаимно простые.

Пары составных чисел:

4 и 9:

• Делители 4: $1,2,4$
• Делители 9: $1,3,9$
• Общий делитель: $1$
• НОД(4, 9) = 1, значит 4 и 9 взаимно простые.

4 и 15:

• Делители 4: $1,2,4$
• Делители 15: $1,3,5,15$
• Общий делитель: $1$
• НОД(4, 15) = 1, значит 4 и 15 взаимно простые.

8 и 9:

• Делители 8: $1,2,4,8$
• Делители 9: $1,3,9$
• Общий делитель: $1$
• НОД(8, 9) = 1, значит 8 и 9 взаимно простые.

8 и 15:

• Делители 8: $1,2,4,8$
• Делители 15: $1,3,5,15$
• Общий делитель: $1$
• НОД(8, 15) = 1, значит 8 и 15 взаимно простые.

9 и 10:

• Делители 9: $1,3,9$
• Делители 10: $1,2,5,10$
• Общий делитель: $1$
• НОД(9, 10) = 1, значит 9 и 10 взаимно простые.

9 и 14:

• Делители 9: $1,3,9$
• Делители 14: $1,2,7,14$
• Общий делитель: $1$
• НОД(9, 14) = 1, значит 9 и 14 взаимно простые.

9 и 16:

• Делители 9: $1,3,9$
• Делители 16: $1,2,4,8,16$
• Общий делитель: $1$
• НОД(9, 16) = 1, значит 9 и 16 взаимно простые.

9 и 20:

• Делители 9: $1,3,9$
• Делители 20: $1,2,4,5,10,20$
• Общий делитель: $1$
• НОД(9, 20) = 1, значит 9 и 20 взаимно простые.

14 и 15:

• Делители 14: $1,2,7,14$
• Делители 15: $1,3,5,15$
• Общий делитель: $1$
• НОД(14, 15) = 1, значит 14 и 15 взаимно простые.

15 и 16:

• Делители 15: $1,3,5,15$
• Делители 16: $1,2,4,8,16$
• Общий делитель: $1$
• НОД(15, 16) = 1, значит 15 и 16 взаимно простые.

Ответ:

Все пары взаимно простых составных чисел:

$$4\text{ и }9;4\text{ и }15;8\text{ и }9;8\text{ и }15;9\text{ и }10;9\text{ и }14;9\text{ и }16;9\text{ и }20;$$

$$$$$$14\text{ и }15;15\text{ и }16$$