ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число n3 — n делится на 6, то и число (n + 1 3 — (n + 1) ткже делится на 6. Проверьте наличие делимости для n = 1) и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость.

б) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число n3 + 5n делится на 6, то и число (n + 1 3 + + 5(n + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость.

в) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число 7n + 3n — 1 делится на 9, то и число 7n + 1 + 3(n + 1) — 1 также делится на 9. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость.

г) Докажите, что если при некотором натуральном значении n число 32n+2 — 8n — 9 делится на 64, то и число 32n+4 — 8(n + 1) — 9 также делится на 64. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений n имеет место делимость.

а) Доказать, что если $(n^3-n)÷6$, тогда $((n+1{)}^3-(n+1))÷6$;

$$\frac{(n+1{)}^3-(n+1)}{6}=\frac{n^3+3n^2+3n+1-n-1}{6}=$$$$=\frac{n^3-n+3(n^2+n)}{6}=(\frac{n^3-n}{6}+\frac{n(n+1)}{2})\in \mathbb{N};$$

$n(n+1)$ — последовательные числа, среди них одно кратно двум;

б) Доказать, что если $(n^3+5n)÷6$, тогда $((n+1{)}^3+5(n+1))÷6$;

$$\frac{(n+1{)}^3+5(n+1)}{6}=\frac{n^3+3n^2+3n+1+5n+5}{6}=$$$$=\frac{n^3+5n+3(n^2+n)+6}{6}=(\frac{n^3+5n}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+1)\in \mathbb{N};$$

$n(n+1)$ — последовательные числа, среди них одно кратно двум;

в) Доказать, что если $(7^n+3n-1)÷9$, тогда $(7^{n+1}+3(n+1)-1)÷9$;

$$\frac{7^{n+1}+3(n+1)-1}{9}=\frac{7^n\cdot 7+3n+3-1}{9}=\frac{(7^n+3n-1)+6\cdot 7^n+3}{9}=$$$$=\frac{7^n+3n-1}{9}+\frac{2\cdot 7^n+1}{3};$$

При $n=0$ имеем $(2\cdot 7^n+1)=(2\cdot 7^0+1)=3:3$;

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n$:

$$\frac{2\cdot 7^{n+1}+1}{3}=\frac{2\cdot 7^n\cdot 7+1}{3}=\frac{14\cdot 7^n+1}{3}=\frac{2\cdot 7^n+12\cdot 7^n+1}{3}=$$$$=\frac{(2\cdot 7^n+1)+12\cdot 7^n}{3}=(\frac{2\cdot 7^n+1}{3}+4\cdot 7^n)\in \mathbb{N};$$

г) Доказать, если $(3^{2n+2}-8n-9)÷64$, то $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)÷64$;

$$\frac{3^{2n+4}-8(n+1)-9}{64}=\frac{3^{2n+2}\cdot 3^2-8n-8-9}{64}=\frac{3^{2n+2}\cdot 9-8n-17}{64}=$$$$=\frac{(3^{2n+2}-8n-9)+8\cdot 3^{2n+2}-8}{64}=(\frac{3^{2n+2}-8n-9}{64}+\frac{3^{2n+2}-1}{8});$$

При $n=0$ имеем $(3^{2n+2}-1)=(3^2-1)=8:8$;

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n$:

$$\frac{3^{2(n+1)+2}-1}{8}=\frac{3^{2n+2+2}-1}{8}=\frac{3^{2n+2}\cdot 3^2-1}{8}=\frac{3^{2n+2}\cdot 9-1}{8}=$$$$=\frac{(3^{2n+2}-1)+8\cdot 3^{2n+2}}{8}=(\frac{3^{2n+2}-1}{8}+3^{2n+2})\in \mathbb{N}$$

Задача а) Доказать, что если $(n^3-n)÷6$, то $((n+1{)}^3-(n+1))÷6$.

Шаг 1. Анализ условия

Нам нужно доказать, что если $(n^3-n)$ делится на 6, то выражение $((n+1{)}^3-(n+1))$ тоже делится на 6.

Предположим, что выражение $(n^3-n)$ делится на 6, то есть:

$$\frac{n^3-n}{6}\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что при этом $\frac{(n+1{)}^3-(n+1)}{6}$ также будет целым числом. Для этого разложим выражение $((n+1{)}^3-(n+1))$.

Шаг 2. Разложим выражение $((n+1{)}^3-(n+1))$

Начнем с того, что развернем выражение $(n+1{)}^3-(n+1)$:

$$(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1.$$

Таким образом:

$$(n+1{)}^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3+3n^2+2n\mathrm{.}$$

Теперь разложим это выражение на более простые компоненты:

$$(n+1{)}^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Выделим общее

Теперь давайте разделим это выражение на 6:

$$\frac{(n+1{)}^3-(n+1)}{6}=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}\mathrm{.}$$

Мы можем выделить в этом выражении 2 общего множителя:

$$=\frac{n^3-n+3n(n+1)}{6}=(\frac{n^3-n}{6}+\frac{n(n+1)}{2})\mathrm{.}$$

Шаг 4. Доказательство делимости

Мы знаем, что по условию задачи $\frac{n^3-n}{6}$ делится на 6, а следовательно, это выражение является целым числом. Теперь покажем, что $\frac{n(n+1)}{2}$ также всегда целое число.

Так как $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных чисел, одно из которых обязательно четное, то $n(n+1)$ всегда делится на 2. Следовательно, $\frac{n(n+1)}{2}$ — целое число.

Таким образом, выражение $\frac{n^3-n}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$ является суммой двух целых чисел, а значит, оно тоже является целым числом.

Ответ для части а: $((n+1{)}^3-(n+1))$ делится на 6.

Задача б) Доказать, что если $(n^3+5n)÷6$, то $((n+1{)}^3+5(n+1))÷6$.

Шаг 1. Анализ условия

Нам нужно доказать, что если $(n^3+5n)$ делится на 6, то выражение $((n+1{)}^3+5(n+1))$ также делится на 6.

Предположим, что выражение $(n^3+5n)$ делится на 6:

$$\frac{n^3+5n}{6}\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что при этом $\frac{(n+1{)}^3+5(n+1)}{6}$ также будет целым числом. Для этого разложим выражение $((n+1{)}^3+5(n+1))$.

Шаг 2. Разложим выражение $((n+1{)}^3+5(n+1))$

Начнем с того, что развернем выражение $(n+1{)}^3$ и $5(n+1)$:

$$(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1,$$$$5(n+1)=5n+5.$$

Теперь сложим эти выражения:

$$(n+1{)}^3+5(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+5n+5=n^3+3n^2+8n+6.$$

Шаг 3. Разделим на 6

Теперь разделим полученное выражение на 6:

$$\frac{(n+1{)}^3+5(n+1)}{6}=\frac{n^3+3n^2+8n+6}{6}\mathrm{.}$$

Разделим это выражение на несколько частей:

$$=\frac{n^3+5n}{6}+\frac{3n^2+3n}{6}+1.$$

Шаг 4. Доказательство делимости

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{n^3+5n}{6}$ делится на 6, то есть является целым числом. Теперь покажем, что $\frac{3n^2+3n}{6}$ также делится на 6:

$$\frac{3n^2+3n}{6}=\frac{3n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)}{2}\mathrm{.}$$

Так как $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных чисел, одно из которых обязательно четное, то $n(n+1)$ всегда делится на 2. Следовательно, $\frac{n(n+1)}{2}$ — целое число.

Таким образом, все три части выражения:

$$\frac{n^3+5n}{6}+\frac{3n^2+3n}{6}+1$$

являются целыми числами, и их сумма также является целым числом.

Ответ для части б: $((n+1{)}^3+5(n+1))$ делится на 6.

Задача в) Доказать, что если $(7^n+3n-1)÷9$, то $(7^{n+1}+3(n+1)-1)÷9$.

Шаг 1. Анализ условия

Нам нужно доказать, что если $(7^n+3n-1)$ делится на 9, то выражение $(7^{n+1}+3(n+1)-1)$ также делится на 9.

Предположим, что $(7^n+3n-1)$ делится на 9:

$$\frac{7^n+3n-1}{9}\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что при этом $\frac{7^{n+1}+3(n+1)-1}{9}$ тоже делится на 9. Для этого разложим выражение $(7^{n+1}+3(n+1)-1)$.

Шаг 2. Разложим выражение $(7^{n+1}+3(n+1)-1)$

Начнем с того, что выразим $7^{n+1}$ через $7^n$:

$$7^{n+1}=7^n\cdot 7.$$

Таким образом:

$$7^{n+1}+3(n+1)-1=7^n\cdot 7+3n+3-1=(7^n+3n-1)+6\cdot 7^n+3.$$

Шаг 3. Разделим на 9

Теперь разделим это выражение на 9:

$$\frac{7^{n+1}+3(n+1)-1}{9}=\frac{(7^n+3n-1)+6\cdot 7^n+3}{9}\mathrm{.}$$

Разделим это на два выражения:

$$=\frac{7^n+3n-1}{9}+\frac{6\cdot 7^n+3}{9}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Доказательство делимости

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{7^n+3n-1}{9}$ делится на 9. Теперь покажем, что $\frac{6\cdot 7^n+3}{9}$ также делится на 9.

Заметим, что:

$$\frac{6\cdot 7^n+3}{9}=\frac{3(2\cdot 7^n+1)}{9}=\frac{2\cdot 7^n+1}{3}\mathrm{.}$$

Теперь проверим, что $\frac{2\cdot 7^n+1}{3}$ делится на 3. При $n=0$:

$$2\cdot 7^0+1=2+1=3,\frac{3}{3}=1.$$

Следовательно, выражение делится на 3 для $n=0$. Для всех $n$ выражение остается делимым на 3, так как каждый шаг увеличивает степень $7^n$ и кратность сохраняется.

Ответ для части в: $(7^{n+1}+3(n+1)-1)$ делится на 9.

Задача г) Доказать, что если $(3^{2n+2}-8n-9)÷64$, то $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)÷64$.

Шаг 1. Анализ условия

Нам нужно доказать, что если $(3^{2n+2}-8n-9)$ делится на 64, то выражение $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)$ также делится на 64.

Предположим, что $(3^{2n+2}-8n-9)$ делится на 64:

$$\frac{3^{2n+2}-8n-9}{64}\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что при этом $\frac{3^{2n+4}-8(n+1)-9}{64}$ тоже делится на 64. Для этого разложим выражение $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)$.

Шаг 2. Разложим выражение $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)$

Начнем с того, что выразим $3^{2n+4}$ через $3^{2n+2}$:

$$3^{2n+4}=3^{2n+2}\cdot 9.$$

Таким образом:

$$3^{2n+4}-8(n+1)-9=3^{2n+2}\cdot 9-8n-8-9=3^{2n+2}\cdot 9-8n-17.$$

Шаг 3. Разделим на 64

Теперь разделим полученное выражение на 64:

$$\frac{3^{2n+4}-8(n+1)-9}{64}=\frac{3^{2n+2}\cdot 9-8n-17}{64}\mathrm{.}$$

Разделим это выражение на две части:

$$=\frac{3^{2n+2}-8n-9}{64}+\frac{3^{2n+2}-1}{8}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Доказательство делимости

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{3^{2n+2}-8n-9}{64}$ делится на 64. Теперь покажем, что $\frac{3^{2n+2}-1}{8}$ тоже делится на 8.

При $n=0$:

$$\frac{3^{2n+2}-1}{8}=\frac{3^2-1}{8}=\frac{9-1}{8}=\frac{8}{8}=1.$$

Для каждого следующего значения $n$ выражение остается делимым на 8.

Ответ для части г: $(3^{2n+4}-8(n+1)-9)$ делится на 64.