ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Существуют ли такие натуральные числа n и k, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

а) $627^{n} - 833^{k}$

б) $834^{n} - 626^{k}$

Краткий ответ:

Последняя цифра числа $m^{n}$ всегда равна последней цифре числа $m$ в степени $n$ ;

а) $627^{n} - 833^{k}$ ;

Для числа $627^{n}$ :

$7^{1} = 7;$ $7^{2} = 7 \cdot 7 = 49;$ $7^{3} = 49 \cdot 7 = 343;$ $7^{4} = 343 \cdot 7 = 2401;$ $7^{5} = 2401 \cdot 7 = 16807;$

Последняя цифра повторяется: $7; 9; 3; 1;$

Для числа $833^{k}$ :

$3^{1} = 3;$ $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9;$ $3^{3} = 9 \cdot 3 = 27;$ $3^{4} = 27 \cdot 3 = 81;$ $3^{5} = 81 \cdot 3 = 243;$

Последняя цифра повторяется: $3; 9; 7; 1;$

Последние цифры чисел одинаковы при:

$n = k = 2 + 4 q;$ $n = k = 4 + 4 q;$ $n = 3 + 4 q и k = 1 + 4 p;$ $n = 1 + 4 q и k = 3 + 4 p;$

Ответ: существуют.

б) $834^{n} - 626^{k}$ ;

Для числа $834^{n}$ :

$4^{1} = 4;$ $4^{2} = 4 \cdot 4 = 16;$ $4^{3} = 16 \cdot 4 = 64;$

Последняя цифра повторяется: $4; 6;$

Для числа $626^{k}$ :

$6^{1} = 6;$ $6^{2} = 6 \cdot 6 = 36;$

Последняя цифра повторяется: $6;$

Последние цифры чисел одинаковы при:

$n = 2 + 2 q и k \in N;$

Ответ: существуют.

Подробный ответ:

В этой задаче нам нужно определить, когда последние цифры чисел, полученных при возведении чисел в степени, будут одинаковыми. Для этого будем внимательно анализировать, как меняются последние цифры при возведении чисел в степень, а также выявлять закономерности для каждого случая.

Часть а) $627^{n} - 833^{k}$

1. Для числа $627^{n}$ :

Первое, что нам нужно сделать, это обратить внимание на последнюю цифру числа 627. Последняя цифра этого числа — это цифра 7. Поэтому будем рассматривать только степени числа 7, так как только она будет влиять на последнюю цифру числа $627^{n}$ .

Рассмотрим возведение числа 7 в различные степени:

$7^{1} = 7$ — последняя цифра $7$
$7^{2} = 49$ — последняя цифра $9$
$7^{3} = 343$ — последняя цифра $3$
$7^{4} = 2401$ — последняя цифра $1$
$7^{5} = 16807$ — последняя цифра $7$

Мы видим, что последние цифры чисел $7^{n}$ образуют периодическую последовательность из 4 элементов: $7; 9; 3; 1$ . Этот цикл повторяется снова начиная с 7.

Таким образом, последние цифры чисел $627^{n}$ будут чередоваться по следующему циклу:
$7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \dots$

2. Для числа $833^{k}$ :

Теперь рассмотрим число $833^{k}$ . Последняя цифра числа 833 — это цифра 3. Поэтому будем анализировать только степени числа 3, так как именно она будет влиять на последнюю цифру числа $833^{k}$ .

Рассмотрим возведение числа 3 в различные степени:

$3^{1} = 3$ — последняя цифра $3$
$3^{2} = 9$ — последняя цифра $9$
$3^{3} = 27$ — последняя цифра $7$
$3^{4} = 81$ — последняя цифра $1$
$3^{5} = 243$ — последняя цифра $3$

Последние цифры чисел $3^{k}$ также образуют периодическую последовательность из 4 элементов: $3; 9; 7; 1$ . Этот цикл повторяется, начиная с 3.

Таким образом, последние цифры чисел $833^{k}$ будут чередоваться по следующему циклу:
$3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \dots$

3. Когда последние цифры чисел одинаковы:

Теперь нам нужно найти такие значения $n$ и $k$ , при которых последние цифры чисел $627^{n}$ и $833^{k}$ будут одинаковыми. Мы ищем такие степени $n$ и $k$ , для которых соответствующие последние цифры из циклов будут совпадать.

Циклы последних цифр:

Для $627^{n}$ цикл: $7, 9, 3, 1$
Для $833^{k}$ цикл: $3, 9, 7, 1$

Для каждого возможного совпадения последних цифр рассмотрим, при каких значениях $n$ и $k$ они будут равны.

Когда последняя цифра равна 7:

Для $627^{n}$ это происходит при $n = 1 + 4 q$ , где $q \in Z$ .
Для $833^{k}$ это происходит при $k = 3 + 4 p$ , где $p \in Z$ .
Таким образом, $n = 1 + 4 q$ и $k = 3 + 4 p$ .

Когда последняя цифра равна 9:

Для $627^{n}$ это происходит при $n = 2 + 4 q$ , где $q \in Z$ .
Для $833^{k}$ это происходит при $k = 2 + 4 p$ , где $p \in Z$ .
Таким образом, $n = 2 + 4 q$ и $k = 2 + 4 p$ .

Когда последняя цифра равна 3:

Для $627^{n}$ это происходит при $n = 3 + 4 q$ , где $q \in Z$ .
Для $833^{k}$ это происходит при $k = 1 + 4 p$ , где $p \in Z$ .
Таким образом, $n = 3 + 4 q$ и $k = 1 + 4 p$ .

Когда последняя цифра равна 1:

Для $627^{n}$ это происходит при $n = 4 + 4 q$ , где $q \in Z$ .
Для $833^{k}$ это происходит при $k = 4 + 4 p$ , где $p \in Z$ .
Таким образом, $n = 4 + 4 q$ и $k = 4 + 4 p$ .

Ответ для части а:
Последние цифры чисел $627^{n}$ и $833^{k}$ совпадают при следующих условиях на $n$ и $k$ :

$n = k = 2 + 4 q;$ $n = k = 4 + 4 q;$ $n = 3 + 4 q и k = 1 + 4 p;$ $n = 1 + 4 q и k = 3 + 4 p;$

Ответ: существуют.

Часть б) $834^{n} - 626^{k}$

1. Для числа $834^{n}$ :

Теперь рассмотрим число $834^{n}$ . Последняя цифра этого числа — это цифра 4. Следовательно, будем анализировать только степени числа 4.

Рассмотрим возведение числа 4 в различные степени:

$4^{1} = 4$ — последняя цифра $4$
$4^{2} = 16$ — последняя цифра $6$
$4^{3} = 64$ — последняя цифра $4$

Последние цифры чисел $4^{n}$ образуют периодическую последовательность из 2 элементов: $4; 6$ . Этот цикл повторяется, начиная с 4.

Таким образом, последние цифры чисел $834^{n}$ будут чередоваться по следующему циклу:
$4, 6, 4, 6, \dots$

2. Для числа $626^{k}$ :

Теперь рассмотрим число $626^{k}$ . Последняя цифра этого числа — это цифра 6. Таким образом, будем анализировать только степени числа 6.

Рассмотрим возведение числа 6 в различные степени:

$6^{1} = 6$ — последняя цифра $6$
$6^{2} = 36$ — последняя цифра $6$

Последняя цифра чисел $6^{k}$ всегда будет равна 6. Следовательно, цикл для чисел $626^{k}$ состоит только из одной цифры:
$6, 6, 6, 6, \dots$

3. Когда последние цифры чисел одинаковы:

Теперь нам нужно найти такие значения $n$ и $k$ , при которых последние цифры чисел $834^{n}$ и $626^{k}$ будут одинаковыми. Мы ищем такие степени $n$ и $k$ , для которых последние цифры из циклов будут совпадать.

Циклы последних цифр:

Для $834^{n}$ цикл: $4, 6, 4, 6, \dots$
Для $626^{k}$ цикл: $6, 6, 6, \dots$

Единственная ситуация, когда последние цифры будут одинаковыми, — это когда обе цифры равны 6. Это происходит при $n$ четном, так как цикл чисел $834^{n}$ повторяется через 2, начиная с 4. Таким образом, $n$ должно быть четным.

Ответ для части б:
Последние цифры чисел $834^{n}$ и $626^{k}$ совпадают при следующих условиях на $n$ и $k$ :

$n = 2 + 2 q и k \in N;$

Ответ: существуют.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра

Общая оценка

3.7 / 5

Комментарии

Другие предметы

Алгебра

10-10 класс