ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все целочисленные значения параметра а, при которых оба корня уравнения — целые числа:

а) $x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0$;

б) $(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0$

а) $x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0$;

По условию $x_1\in \mathbb{Z}$ и $x_2\in \mathbb{Z}$, значит:

$$x_1\cdot x_2=\frac{4}{a-4}\in \mathbb{Z};$$$$x_1+x_2=-a\in \mathbb{Z};$$

$a$ — целое число и $4:(a-4)$, тогда $-4\le a-4\le 4$;

Делители числа четыре: $-4;-2;-1;1;2;4$;

$$a-4=-4,\text{ отсюда }a=0;$$

$$$$$$a-4=-2,\text{ отсюда }a=2;$$

$$$$$$a-4=-1,\text{ отсюда }a=3;$$

$$$$$$a-4=1,\text{ отсюда }a=5;$$

$$$$$$a-4=2,\text{ отсюда }a=6;$$

$$$$$$a-4=4,\text{ отсюда }a=8;$$

Выполним проверку:

$$D=a^2-4\cdot \frac{4}{a-4}=a^2-\frac{16}{a-4};$$

$$$$$$D(0)=0^2-\frac{16}{0-4}=0+\frac{16}{4}=4;$$

$$$$$$D(2)=2^2-\frac{16}{2-4}=4+\frac{16}{2}=4+8=12;$$

$$$$$$D(3)=3^2-\frac{16}{3-4}=9+16=25;$$

$$$$$$D(5)=5^2-\frac{16}{5-4}=25-16=9;$$

$$$$$$D(6)=6^2-\frac{16}{6-4}=36-\frac{16}{2}=36-8=28;$$

$$$$$$D(8)=8^2-\frac{16}{8-4}=64-\frac{16}{4}=64-4=60;$$

Дискриминант является квадратом целого числа, при:

$$a_1=0,a_2=3,a_3=5;$$

Ответ: $0;3;5$.

б) $(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0$;

По условию $x_1\in \mathbb{Z}$ и $x_2\in \mathbb{Z}$, значит:

$$x_1\cdot x_2=\frac{a^2-5a-4}{a+2}\in \mathbb{Z};$$

$$$$$$x_1+x_2=-\frac{2a-1}{a+2}=\frac{1+2a}{a+2}=\frac{2(a+2)-1}{a+2}=2-\frac{1}{a+2}\in \mathbb{Z};$$

$a$ — целое число и $1:(a+2)$, тогда $-1\le a+2\le 1$;

Делители числа один: $-1;1$;

$$a+2=-1,\text{ отсюда }a=-3;$$

$$$$$$a+2=1,\text{ отсюда }a=-1;$$

Выполним проверку:

$$D=(2a-1{)}^2-4(a+2)(a^2-5a-4);$$

$$$$$$D(3)=(2\cdot 3-1{)}^2-4(3+2)(3^2-5\cdot 3-4)=25+200=225;$$

$$$$$$D(-1)=(-2-1{)}^2-4(-1+2)(1+5-4)=9-8=1;$$

Дискриминант является квадратом целого числа, при:

$$a_1=-1,a_2=3;$$

Ответ: $-1;3$.

Задача а)

У нас есть квадратное уравнение:

$$x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0$$

Шаг 1. Условия на корни уравнения

По условию задачи нам известно, что оба корня $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами ($x_1\in \mathbb{Z}$ и $x_2\in \mathbb{Z}$).

Из теории квадратных уравнений мы знаем, что для уравнения $A{x}^2+Bx+C=0$, сумма и произведение корней можно выразить через коэффициенты $A$, $B$ и $C$ следующим образом:

1. Сумма корней $x_1+x_2=-\frac{B}{A}$.
2. Произведение корней $x_1\cdot x_2=\frac{C}{A}$.

Для нашего уравнения $x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0$ имеем:

• $A=1$,
• $B=a$,
• $C=\frac{4}{a-4}$.

Таким образом, сумма корней:

$$x_1+x_2=-a\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Произведение корней:

$$x_1\cdot x_2=\frac{4}{a-4}\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, то и произведение $x_1\cdot x_2$ должно быть целым числом, а значит, $\frac{4}{a-4}$ должно быть целым числом. Это означает, что $a-4$ должно быть делителем числа 4.

Шаг 2. Анализ возможных значений $a$

Мы знаем, что делители числа 4: $-4$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $4$. Следовательно, $a-4$ может быть одним из этих делителей, и тогда $a$ может быть:

$$a-4=-4\Rightarrow a=0$$$$a-4=-2\Rightarrow a=2$$$$a-4=-1\Rightarrow a=3$$$$a-4=1\Rightarrow a=5$$$$a-4=2\Rightarrow a=6$$$$a-4=4\Rightarrow a=8$$

Таким образом, возможные значения $a$ — это $0$, $2$, $3$, $5$, $6$, $8$.

Шаг 3. Проверка дискриминанта

Теперь нужно проверить, при каких значениях $a$ дискриминант уравнения является полным квадратом, так как для целых корней квадратного уравнения дискриминант должен быть неотрицательным и являться полным квадратом.

Дискриминант для уравнения $x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0$ можно найти по формуле:

$$D=B^2-4AC=a^2-4\cdot 1\cdot \frac{4}{a-4}=a^2-\frac{16}{a-4}\mathrm{.}$$

Теперь подставим различные значения $a$ и найдем дискриминант для каждого случая:

Для $a=0$:

$$D(0)=0^2-\frac{16}{0-4}=0+\frac{16}{4}=4.$$

Дискриминант 4 — это полный квадрат.

Для $a=2$:

$$D(2)=2^2-\frac{16}{2-4}=4+\frac{16}{2}=4+8=12.$$

Дискриминант 12 — не является полным квадратом.

Для $a=3$:

$$D(3)=3^2-\frac{16}{3-4}=9+16=25.$$

Дискриминант 25 — это полный квадрат.

Для $a=5$:

$$D(5)=5^2-\frac{16}{5-4}=25-16=9.$$

Дискриминант 9 — это полный квадрат.

Для $a=6$:

$$D(6)=6^2-\frac{16}{6-4}=36-\frac{16}{2}=36-8=28.$$

Дискриминант 28 — не является полным квадратом.

Для $a=8$:

$$D(8)=8^2-\frac{16}{8-4}=64-\frac{16}{4}=64-4=60.$$

Дискриминант 60 — не является полным квадратом.

Шаг 4. Ответ

Таким образом, дискриминант является полным квадратом только для $a=0$, $a=3$ и $a=5$.

Ответ: $a_1=0,a_2=3,a_3=5$.

Задача б)

У нас есть другое квадратное уравнение:

$$(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0$$

Шаг 1. Условия на корни уравнения

По условию задачи нам известно, что оба корня $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами.

Для уравнения $A{x}^2+Bx+C=0$ сумма и произведение корней выражаются через коэффициенты следующим образом:

• Сумма корней:

$$x_1+x_2=-\frac{B}{A}\mathrm{.}$$

• Произведение корней:

$$x_1\cdot x_2=\frac{C}{A}\mathrm{.}$$

Для нашего уравнения $(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0$ имеем:

• $A=a+2$,
• $B=2a-1$,
• $C=a^2-5a-4$.

Таким образом, сумма корней:

$$x_1+x_2=-\frac{2a-1}{a+2}=2-\frac{1}{a+2}\mathrm{.}$$

Для того чтобы $x_1+x_2$ было целым числом, выражение $\frac{1}{a+2}$ должно быть целым, что означает, что $a+2$ должно быть делителем числа 1. Делители числа 1 — это $-1$ и $1$. Следовательно, $a+2=-1$ или $a+2=1$, что дает:

$$a+2=-1\Rightarrow a=-3,$$$$a+2=1\Rightarrow a=-1.$$

Шаг 2. Проверка дискриминанта

Дискриминант для уравнения $(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0$ можно найти по формуле:

$$D=B^2-4AC=(2a-1{)}^2-4(a+2)(a^2-5a-4)\mathrm{.}$$

Теперь подставим значения $a=-3$ и $a=-1$ и найдем дискриминант для каждого случая:

Для $a=-3$:

$$D(-3)=(2\cdot (-3)-1{)}^2-4(-3+2)((-3{)}^2-5(-3)-4)=$$

$$=(-7{)}^2-4(-1)(9+15-4)=49+200=225.$$

Дискриминант 225 — это полный квадрат.

Для $a=-1$:

$$D(-1)=(2\cdot (-1)-1{)}^2-4(-1+2)((-1{)}^2-5(-1)-4)=$$

$$=(-3{)}^2-4(1)(1+5-4)=9-8=1.$$

Дискриминант 1 — это полный квадрат.

Шаг 3. Ответ

Дискриминант является полным квадратом только для $a=-1$ и $a=-3$.

Ответ: $a_1=-1,a_2=-3$.

Итоговый ответ:

Для задачи а) ответ: $0;3;5$.

Для задачи б) ответ: $-1;-3$.