ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли из 103 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно делящееся:

а) на 52;

б) на 51;

в) на 103;

г) на 10003?

Среди $n$ натуральных чисел одно и только одно делится на $n$;

Может ли среди 103 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно, делящееся:

а) На число 52: $\frac{103}{52}=1\frac{51}{52}$;
Одно такое число существует наверняка, а второго может не быть;
Ответ: да.

б) На число 51: $\frac{103}{51}=2\frac{1}{51}$;
Два таких числа существуют наверняка, а третьего может не быть;
Ответ: нет.

в) На число 103: $\frac{103}{103}=1$;
Наверняка существует одно и только одно такое число;
Ответ: да.

г) На число 10 003: $\frac{103}{10003}<1$;
Возможно, что существует одно такое число;
Ответ: да.

Пусть среди 103 подряд идущих натуральных чисел есть число, которое делится на $k$. Если рассматривать такие числа по порядку, например от $m$ до $m+102$, то среди этих чисел могут быть числа, делящиеся на $k$. Для этого числа, делящиеся на $k$, должны попадать в этот промежуток. Количество чисел, делящихся на $k$, вычисляется по формуле:

$$\lfloor \frac{m+102}{k}\rfloor -\lfloor \frac{m-1}{k}\rfloor$$

где $\lfloor x\rfloor$ — это целая часть числа $x$. Если разница между этими выражениями равна 1, то среди этих чисел есть ровно одно, которое делится на $k$. Если разница больше 1, то таких чисел больше одного. Если разница равна 0, то среди чисел нет делящихся на $k$.

Теперь давайте разберём каждый пункт задачи.

а) Число 52

Нам нужно рассмотреть 103 подряд идущих числа и выяснить, сколько из них делятся на 52.

Шаг 1: Анализируем делимость на 52.

Числа, делящиеся на 52, имеют вид:

$$52,104,156,208,\dots$$

Чтобы найти, сколько таких чисел попадает в промежуток от $m$ до $m+102$, нужно разделить 103 на 52:

$$\frac{103}{52}=1\frac{51}{52}$$

То есть в промежутке от $m$ до $m+102$ будет ровно одно число, которое делится на 52. Причем второе число, которое делится на 52, не попадет в этот диапазон.

Ответ: Да, среди 103 идущих подряд чисел есть ровно одно, которое делится на 52.

б) Число 51

Теперь рассмотри число 51. Нам нужно узнать, сколько чисел из 103 подряд идущих чисел делятся на 51.

Шаг 1: Анализируем делимость на 51.

Числа, делящиеся на 51, имеют вид:

$$51,102,153,204,\dots$$

Делим 103 на 51:

$$\frac{103}{51}=2\frac{1}{51}$$

То есть в промежутке от $m$ до $m+102$ будут два числа, которые делятся на 51. Третьего числа, которое делится на 51, не будет, так как следующее число, которое делится на 51, окажется за пределами этого промежутка.

Ответ: Нет, среди 103 идущих подряд чисел не может быть ровно одного числа, делящегося на 51. Таких чисел будет два.

в) Число 103

Рассмотрим число 103. Нужно понять, сколько чисел из 103 подряд идущих чисел делятся на 103.

Шаг 1: Анализируем делимость на 103.

Числа, делящиеся на 103, имеют вид:

$$103,206,309,\dots$$

Делим 103 на 103:

$$\frac{103}{103}=1$$

То есть в промежутке от $m$ до $m+102$ будет ровно одно число, которое делится на 103. Это единственное число, которое делится на 103, так как следующее число, которое делится на 103, будет равно 206, а оно выходит за пределы рассматриваемого диапазона.

Ответ: Да, среди 103 идущих подряд чисел есть ровно одно число, которое делится на 103.

г) Число 10 003

Нам нужно рассмотреть делимость на 10 003. Это большое число, и необходимо определить, сколько чисел из 103 подряд идущих чисел делятся на 10 003.

Шаг 1: Анализируем делимость на 10 003.

Числа, делящиеся на 10 003, имеют вид:

$$10003,20006,30009,\dots$$

Чтобы проверить, попадает ли какое-либо из чисел, делящихся на 10 003, в диапазон от $m$ до $m+102$, делим 103 на 10 003:

$$\frac{103}{10003}<1$$

Это выражение меньше 1, что значит, что числа, делящиеся на 10 003, не могут попадать в этот диапазон, так как первое число, которое делится на 10 003, уже больше 103. Однако возможно, что одно такое число будет где-то внутри диапазона.

Ответ: Да, среди 103 идущих подряд чисел может быть одно число, которое делится на 10 003.

Итоговые ответы:

а) Да.

б) Нет.

в) Да.

г) Да.