ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите все такие натуральные числа $n$ , при которых заданное выражение является натуральным числом:

а) $\frac{5 n^{2} + 7 n - 12}{n}$ ;

б) $\frac{n^{7} + 3 n^{2} + 36}{n^{2}}$ .

Краткий ответ:

При некотором значении $a$ число $b = a + \frac{2}{a}$ является целым, будет ли целым число:

а) $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ ;

Число $b \in Z$ , значит и число $(b)^{2} \in Z$ ;

$(b)^{2} = {(a + \frac{2}{a})}^{2} = a^{2} + 2 \cdot \frac{2}{a} \cdot a + {(\frac{2}{a})}^{2} = a^{2} + \frac{4}{a^{2}} + 4;$ $(a^{2} + \frac{4}{a^{2}}) = 4 - (b)^{2};$

Числа $4 \in Z$ и $(b)^{2} \in Z$ , значит и число $(a^{2} + \frac{4}{a^{2}}) \in Z$ ;

Ответ: да.

б) $a^{3} + \frac{8}{a^{3}}$ ;

Число $b \in Z$ , значит и число $(b)^{3} \in Z$ ;

$(b)^{3} = {(a + \frac{2}{a})}^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot \frac{2}{a} + 3 \cdot a \cdot {(\frac{2}{a})}^{2} + {(\frac{2}{a})}^{3};$ $(b)^{3} = a^{3} + \frac{8}{a^{3}} + 6 a + \frac{12}{a} = a^{3} + \frac{8}{a^{3}} + 6 (a + \frac{2}{a}) = a^{3} + \frac{8}{a^{3}} + 6 b;$ $(a^{3} + \frac{8}{a^{3}}) = (b)^{3} - 6 b;$

Числа $b \in Z$ и $(b)^{3} \in Z$ , значит и число $(a^{3} + \frac{8}{a^{3}}) \in Z$ ;

Ответ: да.

Подробный ответ:

При некотором значении $a$ число $b = a + \frac{2}{a}$ является целым, будет ли целым число:

а) $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$

Шаг 1: Условие, что $b = a + \frac{2}{a}$ является целым числом

Нам дано, что $b = a + \frac{2}{a}$ , и известно, что $b \in Z$ , то есть $b$ — целое число.
Задача состоит в том, чтобы доказать, что $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ также является целым числом при тех же условиях.

Шаг 2: Преобразование выражения

Мы начинаем с того, что возведем $b = a + \frac{2}{a}$ в квадрат:

$b^{2} = {(a + \frac{2}{a})}^{2}$

Раскроем квадрат:

$b^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + {(\frac{2}{a})}^{2}$

Упростим:

$b^{2} = a^{2} + 4 + \frac{4}{a^{2}}$

Перепишем выражение:

$b^{2} = a^{2} + \frac{4}{a^{2}} + 4$

Шаг 3: Решение для $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$

Теперь, чтобы выразить $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ , вычитаем 4 из обеих частей уравнения:

$a^{2} + \frac{4}{a^{2}} = b^{2} - 4$

Шаг 4: Доказательство целочисленности

Так как $b \in Z$ , то $b^{2} \in Z$ (квадрат целого числа всегда целое).
Из этого следует, что $b^{2} - 4 \in Z$ , потому что разность двух целых чисел всегда целое число.
Таким образом, $a^{2} + \frac{4}{a^{2}} \in Z$ .

Ответ: Да, выражение $a^{2} + \frac{4}{a^{2}}$ всегда является целым числом.

б) $a^{3} + \frac{8}{a^{3}}$

Шаг 1: Условие, что $b = a + \frac{2}{a}$ является целым числом

Из условия задачи мы знаем, что $b = a + \frac{2}{a}$ , и также $b \in Z$ , то есть $b$ — целое число.
Задача состоит в том, чтобы доказать, что $a^{3} + \frac{8}{a^{3}}$ также является целым числом.

Шаг 2: Преобразование выражения

Мы начнем с того, что возведем $b = a + \frac{2}{a}$ в куб:

$b^{3} = {(a + \frac{2}{a})}^{3}$

Раскроем куб:

$b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} \cdot \frac{2}{a} + 3 a \cdot {(\frac{2}{a})}^{2} + {(\frac{2}{a})}^{3}$

Упростим:

$b^{3} = a^{3} + 6 a + \frac{12}{a} + \frac{8}{a^{3}}$

Шаг 3: Перепишем выражение для $a^{3} + \frac{8}{a^{3}}$

Перепишем выражение для $b^{3}$ :

$b^{3} = a^{3} + \frac{8}{a^{3}} + 6 (a + \frac{2}{a})$

Обозначим $b = a + \frac{2}{a}$ , тогда:

$b^{3} = a^{3} + \frac{8}{a^{3}} + 6 b$

Шаг 4: Решение для $a^{3} + \frac{8}{a^{3}}$

Вычитаем $6 b$ из обеих частей уравнения:

$a^{3} + \frac{8}{a^{3}} = b^{3} - 6 b$

Шаг 5: Доказательство целочисленности

Так как $b \in Z$ , то $b^{3} \in Z$ (куб целого числа всегда целое).
Так как $b \in Z$ , то и $6 b \in Z$ (умножение целого числа на целое всегда дает целое число).
Следовательно, разность $b^{3} - 6 b \in Z$ .
Таким образом, $a^{3} + \frac{8}{a^{3}} \in Z$ .