ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Число 14а + 116 не делится на 5; докажите, что и 9a + 6 не делится на 5.

б) Число 17a + 296 не делится на 13; докажите, что и 4a + 36 не делится на 13.

а) Доказать, что если $(14a+11b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$, тогда $(9a+b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$;

$9a+b=(14a+11b)-(5a+10b)=(14a+11b)-5(a+2b)$;

Допустим $(9a+b)\mathrm{⋮}5$, значит $(9a+b)=5q$, где $q\in \mathbb{N}$, тогда:

$$(14a+11b)-5(a+2b)=5q;$$$$14a+11b=5q+5(a+2b);$$$$14a+11b=5(q+a+2b)\in \mathbb{N};$$

Получим $(14a+11b)\mathrm{⋮}5$, что противоречит условию задачи, значит $(9a+b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $(17a+29b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$, тогда $(4a+3b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$;

$4a+3b=(17a+29b)-(13a+26b)=(17a+29b)-13(a+2b)$;

Допустим $(4a+3b)\mathrm{⋮}13$, значит $(4a+3b)=13q$, где $q\in \mathbb{N}$, тогда:

$$(17a+29b)-13(a+2b)=13q;$$$$17a+29b=13q+13(a+2b);$$$$17a+29b=13(q+a+2b)\in \mathbb{N};$$

Получим $(17a+29b)\mathrm{⋮}13$, что противоречит условию задачи, значит $(4a+3b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что если $(14a+11b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$, тогда $(9a+b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$.

Шаг 1: Перепишем выражение для $9a+b$

Нам нужно доказать, что если $(14a+11b)$ не делится на 5, то и $(9a+b)$ не делится на 5.

Начнем с того, что мы можем выразить $9a+b$ через $14a+11b$ и более простое выражение:

$$9a+b=(14a+11b)-(5a+10b)$$

Здесь разность $5a+10b$ является кратной 5, потому что:

$$5a+10b=5(a+2b)$$

Таким образом, мы переписали $9a+b$ в виде:

$$9a+b=(14a+11b)-5(a+2b)$$

Шаг 2: Пусть $(9a+b)\mathrm{⋮}5$

Теперь предположим, что $9a+b$ делится на 5. То есть:

$$9a+b=5q$$

где $q$ — некоторое натуральное число. Подставим это значение в выражение, которое мы получили на первом шаге:

$$(14a+11b)-5(a+2b)=5q$$

Шаг 3: Преобразуем выражение

Теперь преобразуем выражение:

$$14a+11b=5q+5(a+2b)$$

Можно вынести 5 за скобки:

$$14a+11b=5(q+a+2b)$$

Получаем, что $14a+11b$ делится на 5, поскольку правую часть можно записать как произведение 5 на целое число.

Шаг 4: Противоречие

Но нам известно, что по условию задачи $14a+11b$ не делится на 5 (это гипотеза). Получается, что мы пришли к противоречию, так как мы показали, что если $9a+b$ делится на 5, то и $14a+11b$ должно делиться на 5, что противоречит исходной гипотезе.

Таким образом, гипотеза, что $9a+b$ делится на 5, неверна. Следовательно, $9a+b$ не делится на 5.

Ответ для пункта а): $(9a+b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$.

б) Доказать, что если $(17a+29b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$, тогда $(4a+3b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$.

Шаг 1: Перепишем выражение для $4a+3b$

Как и в предыдущем пункте, мы можем выразить $4a+3b$ через $17a+29b$ и более простое выражение. Это делается следующим образом:

$$4a+3b=(17a+29b)-(13a+26b)$$

Здесь разность $13a+26b$ — это выражение, кратное 13, потому что:

$$13a+26b=13(a+2b)$$

Таким образом, $4a+3b$ можно записать как:

$$4a+3b=(17a+29b)-13(a+2b)$$

Шаг 2: Пусть $(4a+3b)\mathrm{⋮}13$

Предположим, что $4a+3b$ делится на 13. То есть:

$$4a+3b=13q$$

где $q$ — некоторое натуральное число. Подставим это в выражение, которое мы получили на первом шаге:

$$(17a+29b)-13(a+2b)=13q$$

Шаг 3: Преобразуем выражение

Теперь преобразуем выражение:

$$17a+29b=13q+13(a+2b)$$

Можно вынести 13 за скобки:

$$17a+29b=13(q+a+2b)$$

Получаем, что $17a+29b$ делится на 13, поскольку правую часть можно записать как произведение 13 на целое число.

Шаг 4: Противоречие

Но по условию задачи $17a+29b$ не делится на 13. Мы пришли к противоречию, так как, если $4a+3b$ делится на 13, то $17a+29b$ должно делиться на 13, что противоречит исходной гипотезе.

Таким образом, гипотеза, что $4a+3b$ делится на 13, неверна. Следовательно, $4a+3b$ не делится на 13.

Ответ для пункта б): $(4a+3b)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}13$.