ГДЗ по Алгебре 10 Класс Профильный Уровень Задачник 📕 Мордкович — Все Части

Алгебра

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Обзор задачника «Алгебра. 10 класс» Мордкович (Профильный уровень)

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Особенности задачника

Одной из главных особенностей задачника является его структурированность и ориентация на постепенное усложнение материала. Учебник позволяет ученикам не только закрепить базовые знания, но и развить аналитическое мышление за счёт решения сложных задач.

Авторы уделяют большое внимание логике изложения: каждый новый раздел начинается с теоретической части, где подробно объясняются основные понятия и методы, а затем следуют задания с возрастающим уровнем сложности. Это делает процесс обучения комфортным и последовательным.

Преимущества

Разнообразие заданийВ задачнике представлены задачи разного уровня сложности — от базовых до олимпиадных. Это позволяет использовать книгу как для текущей учёбы, так и для подготовки к экзаменам.
Пошаговое обучениеМатериал изложен таким образом, что каждый новый раздел основывается на ранее изученном. Это помогает ученикам лучше усваивать сложные темы.
Практическая направленностьЗадачи часто связаны с реальными примерами, что делает процесс обучения более интересным и прикладным.
Подготовка к ЕГЭКнига идеально подходит для подготовки к профильной части Единого государственного экзамена по математике, так как включает задания, аналогичные тем, что встречаются на экзамене.
Дополнительные материалыВ конце книги часто можно найти ответы или указания к решению сложных задач, что помогает ученикам проверять себя и понимать ошибки.

Недостатки

Несмотря на множество плюсов, у задачника есть и свои минусы. Например, некоторые темы могут быть изложены слишком кратко, что требует от ученика дополнительных усилий для понимания. Также сложные задачи без подробных решений могут вызывать трудности у тех, кто изучает материал самостоятельно.

Итог

Задачник Мордковича — это отличный выбор для школьников, которые хотят углубить свои знания по алгебре и успешно подготовиться к экзаменам. Книга сочетает в себе доступность, логичность и разнообразие заданий, что делает её универсальным инструментом для обучения.

Если вы ищете учебное пособие, которое поможет вам освоить сложные темы алгебры, этот задачник — именно то, что нужно!

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что:

а) 723 + 343 делится на 106;

б) (I3 + 23 + 33 +)… + 1813 + 1823) делится на 183

в) 183 + 263 делится на 176;

г) (23 + 33 +)… + 1963 + 1973) делится на 199.

Краткий ответ:

а) Доказать, что число $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106;

$\frac{72^{3} + 34^{3}}{106} = \frac{(72 + 34) (72^{2} - 72 \cdot 34 + 34^{2})}{72 + 34} = (72^{2} - 72 \cdot 34 + 34^{2}) \in N;$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $(1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3})$ делится на 183;

$1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3} = (1^{3} + 182^{3}) + (2^{3} + 181^{3}) + \dots + (91^{3} + 92^{3}) =$

$= (1 + 182) (1^{2} - 1 \cdot 182 + 182^{2}) + (2 + 181) (2^{2} - 2 \cdot 181 + 181^{2}) + \dots +$

$+ (91 + 92) (91^{3} - 91 \cdot 92 + 92^{3}) = 183 \cdot (1^{2} + 2^{2} + \dots + 182^{2} - 1 \cdot 182 -$

$- 2 \cdot 181 - \dots - 91 \cdot 92) \in N;$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что число $18^{3} + 26^{3}$ делится на 176;

$\frac{18^{3} + 26^{3}}{176} = \frac{(18 + 26) (18^{2} - 18 \cdot 26 + 26^{2})}{(18 + 26) \cdot 4} = (18^{2} - 18 \cdot 26 + 26^{2}) \in N;$

Что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $(2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3})$ делится на 199;

$2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3} = (2^{3} + 197^{3}) + (3^{3} + 196^{3}) + \dots + (99^{3} + 100^{3}) =$

$= (2 + 197) (2^{2} - 2 \cdot 197 + 197^{2}) + (3 + 196) (3^{2} - 3 \cdot 196 + 196^{2}) + \dots +$

$+ (99 + 100) (99^{3} - 99 \cdot 100 + 100^{3}) = 199 \cdot (2^{2} + 3^{2} + \dots + 196^{2} - 2 \cdot 197 -$

$- 3 \cdot 196 - \dots - 99 \cdot 100) \in N;$

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

а) Доказать, что число $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106.

Используем формулу для суммы кубов:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

Подставим $a = 72$ и $b = 34$ :

$72^{3} + 34^{3} = (72 + 34) (72^{2} - 72 \cdot 34 + 34^{2})$

Упростим выражение:

Сначала вычислим $72 + 34$ :

$72 + 34 = 106$

Таким образом, выражение превращается в:

$72^{3} + 34^{3} = 106 \cdot (72^{2} - 72 \cdot 34 + 34^{2})$

Проверим делимость на 106:

Мы видим, что произведение содержит множитель $106$ , что означает, что $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106. Не нужно дополнительно проверять делимость второго множителя, так как все выражение делится на 106.

Заключение:

Число $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $(1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3})$ делится на 183.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что сумма кубов чисел от 1 до 182 делится на 183:

$1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3}$

Разбиваем сумму на пары:

Сумма кубов чисел от 1 до 182 может быть записана как:

$(1^{3} + 182^{3}) + (2^{3} + 181^{3}) + \dots + (91^{3} + 92^{3})$

Используем формулу для суммы кубов:

По формуле суммы кубов для двух чисел:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

Подставим $a$ и $b$ для каждой пары:

$1^{3} + 182^{3} = (1 + 182) (1^{2} - 1 \cdot 182 + 182^{2})$ $2^{3} + 181^{3} = (2 + 181) (2^{2} - 2 \cdot 181 + 181^{2})$

И так далее для всех пар.

Упростим выражение:

Все эти суммы можно объединить в одну, так как каждый множитель в скобках будет кратен 183:

$1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3} = 183 \cdot (1^{2} + 2^{2} + \dots + 182^{2} - 1 \cdot 182 - 2 \cdot 181 - \dots - 91 \cdot 92)$

Заключение:

Мы видим, что вся сумма представляется как произведение числа 183 на некоторое выражение. Следовательно, сумма $1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3}$ делится на 183. Это и требовалось доказать.

в) Доказать, что число $18^{3} + 26^{3}$ делится на 176.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что $18^{3} + 26^{3}$ делится на 176.

Используем формулу для суммы кубов:

Применим формулу для суммы кубов:

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

Подставим $a = 18$ и $b = 26$ :

$18^{3} + 26^{3} = (18 + 26) (18^{2} - 18 \cdot 26 + 26^{2})$

Упростим выражение:

Сначала вычислим $18 + 26$ :

$18 + 26 = 44$

Таким образом, выражение становится:

$18^{3} + 26^{3} = 44 \cdot (18^{2} - 18 \cdot 26 + 26^{2})$

Проверим делимость на 176:

Теперь у нас есть множитель 44, и нужно проверить, что $44 \cdot (18^{2} - 18 \cdot 26 + 26^{2})$ делится на 176. Заметим, что:

$176 = 44 \cdot 4$

Следовательно, выражение делится на 176, так как $44$ присутствует в виде множителя.

Заключение:

Число $18^{3} + 26^{3}$ делится на 176, что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $(2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3})$ делится на 199.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что сумма кубов чисел от 2 до 197 делится на 199:

$2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3}$

Разбиваем сумму на пары:

Сумма кубов чисел от 2 до 197 может быть записана как:

$(2^{3} + 197^{3}) + (3^{3} + 196^{3}) + \dots + (99^{3} + 100^{3})$

Используем формулу для суммы кубов:

Применяем формулу для каждой пары:

$2^{3} + 197^{3} = (2 + 197) (2^{2} - 2 \cdot 197 + 197^{2})$ $3^{3} + 196^{3} = (3 + 196) (3^{2} - 3 \cdot 196 + 196^{2})$

И так далее.

Упростим выражение:

Все суммы можно объединить в одну, так как каждый множитель в скобках будет кратен 199:

$2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3} = 199 \cdot (2^{2} + 3^{2} + \dots + 196^{2} - 2 \cdot 197 - 3 \cdot 196 - \dots - 99 \cdot 100)$

Заключение:

Мы видим, что вся сумма представляется как произведение числа 199 на некоторое выражение. Следовательно, сумма $2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3}$ делится на 199. Это и требовалось доказать.

Итоговые ответы:

а) $72^{3} + 34^{3}$ делится на 106.

б) $1^{3} + 2^{3} + \dots + 182^{3}$ делится на 183.

в) $18^{3} + 26^{3}$ делится на 176.

г) $2^{3} + 3^{3} + \dots + 197^{3}$ делится на 199.